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Niveau Maths sup
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demande d aide

Posté par damathsup (invité) 05-12-04 à 11:15

Bonjour
Je bloque sur une question, quelqu'un pourrait-il m'aider SVP
Démontrer par récurence sans utiliser la formule de moivre que pour tout entier de n de N, il existe deux polynomes Pn(X), Qn(X) telque tout réel x on ait:    cos(nx)=Pn(cos(x)) et sin(nx)=sin(x).Qn(cos(x))

Posté par
isisstruiss
re : demande d aide 05-12-04 à 11:23

Hello

Tu peux faire par récurrence. Ceci est clairement vrai pour n=1. Tu le supposes vrai pour n et le démontres pour n+1 en utilisant
cos((n+1)x)=cos(x+nx)=cos(x)cos(nx)-sin(x)sin(nx)

Isis

Posté par damathsup (invité)suite de demande d aide 05-12-04 à 13:57

merci isisstruiss pour votre aide
mais je ne vois pas où cela doit me conduire
encore merci pour votre patience.

Posté par damathsup (invité)demonstration par récurence de la formule de moivre 05-12-04 à 16:27

Bonjour  j'ai eu une réponse mais je n'ai pas compris. merci de votre comprehension.
Je bloque sur une question, quelqu'un pourrait-il m'aider SVP?

Démontrer par récurence sans utiliser la formule de moivre que pour tout entier de n de N, il existe deux polynomes Pn(X), Qn(X) telque tout réel x on ait:    cos(nx)=Pn(cos(x)) et sin(nx)=sin(x).Qn(cos(x))


*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmaster
re : demande d aide 05-12-04 à 16:55

PAS DE MULTI-POSTS !
Si tu penses que ton message est passé aux oubliettes, reposte dans le topic initial, il remontera automatiquement parmi les premiers.
Merci

Posté par damathsup (invité)re : demande d aide 05-12-04 à 17:34

demande d aideposté par : damathsup
Bonjour
Je bloque sur une question, quelqu'un pourrait-il m'aider SVP
Démontrer par récurence sans utiliser la formule de moivre que pour tout entier de n de N, il existe deux polynomes Pn(X), Qn(X) telque tout réel x on ait:    cos(nx)=Pn(cos(x)) et sin(nx)=sin(x).Qn(cos(x))

Posté par
isisstruiss
re : demande d aide 09-12-04 à 01:06

Il faut démontrer les 2 en parallèle. Tu seras certainement d'accord avec moi que ces formules sont vrais si je prends n=1. Alors imagines qu'elles sont encore justes pour tous les n=1,2,3,...,N. On va voir qu'elles le sont aussi pour N+1. Il suffit d'utiliser la formule que j'ai cité dans mon premier post. cos((N+1)x)=cos(x+Nx)=cos(x)cos(Nx)-sin(x)sin(Nx)
cos(x) est un polynome en cos, cos(Nx) l'est aussi (par hypothèse de récurrence). sin(Nx)=sin(x)Q(cosx), donc sin(x)sin(Nx)=sin²(x)Q(cosx)=(1-cos²(x))Q(cosx), ce qui est un polynôme en x.

On fait le même raisonnement pour la formule équivalente pour le sinus et le tour est joué.

Posté par damathsup (invité)Remerciement 11-12-04 à 11:23

Merci pour ta réponse
Un site bien utile. Où des personnee sympas prennent le temps de nous aider.
Merci encore pour ton aide.



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