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Demo

Posté par
Taf88 07-09-18 à 11:42

Bonjour .jai besoin d'une piste pour cette qu'estion .demontrer que .somme k=1 jusqu'a n de ((-1)^(k+1)*C_n^k)/k=somme k=1 jusqu'a n de 1/k.C_n^k est le coefficient binomiale.jai assaye de remplacer le coefficient bi'omiale par une expression plus simple mqi je n'aboutis pas.

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 12:05

Bonjour, afin qu'on soit sûr de comprendre,

Il t'est donc demandé de montrer l'expression suivante ?

\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\dfrac{C_n^k}{k} =\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 12:11

Exactement lyceen .c'est sa qu'on demande.

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 14:36

Au secours les matheux

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 14:58

JE suis en train de chercher

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 15:51

J'ai essayé de le démontrer directement, je n'y arrive pas, je m'oriente donc sur la démonstration par récurrence.

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 16:49

Ok lyceen du courage moi je peine a le demontrer.

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 16:50

Bon là, je coince... Je te donne ce que j'ai fait.  Question cependant, as-tu vu le binôme de Newton ? Car cet exercice s'adresse à des gens qui le connaissent...

Pour n=1, la relation que tu veux démontrer est vraie. Ainsi, classiquement dans une récurrence, j'admets que P(n) est vraie, il s'agit de montrer que P(n+1) est vraie, par hérédité.

C'est là que je vais utiliser le binôme : (a+b)^n=\sum_{k=0}^na^kb^{n-k}C_n^k

avec a=-1 et b=1, cela donne :

(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k1^{n-k}C_n^k=0, on en déduit alors

(-1+1)^n=1 + \sum_{k=1}^n(-1)^kC_n^k \\ \\ \sum_{k=1}^n(-1)^kC_n^k = -1

Appliqué à (-1+1)^{n+1}, ça donne :

\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}C_{n+1}^k = -1

Là, à force de tout manipuler, j'ai fini par trouver que :

C_{n+1}^k = \dfrac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \dfrac{n+1}{k} \dfrac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}= (n+1)\dfrac{ C_n^{k-1}}{k}

Donc

\\ \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}C_{n+1}^k = \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}(n+1)\dfrac{ C_n^{k-1}}{k} \\ \\ = (n+1)\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\dfrac{C_n^{k-1}}{k} \\

Malheureusement, le terme générique est \dfrac{C_n^{k-1}}{k} et non \dfrac{C_n^k}{k}, ce qui fait que je coince...

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 16:50

Peut etre les verront le chemin

Posté par
carpediemre : Demo 07-09-18 à 16:57

salut

toujours plus d'exercice et toujours aucun effort pour écrire des expressions mathématiques convenables ... alors que tu as tous les outils ...

{n \choose k} = \dfrac n k {n - 1 \choose k - 1}

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 17:01

Pardon carpediem,

Effectivement on écrit n\choose k et non plus C_n^k

Posté par
carpediemre : Demo 07-09-18 à 17:31

ceci n'est pas trop grave ... c'est ton énoncé qui est guère lisible ...

Posté par
malou Webmasterre : Demo 07-09-18 à 17:35

ne pas confondre Taf88 le demandeur et lyceen qui tentait de l'aider

Posté par
lakere : Demo 07-09-18 à 18:23

Bonjour,

  En notant u_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n}{k}}{k}, on peut montrer avec la formule de Pascal que:

    u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1} puis une somme télescopique.

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 18:35

malou @ 07-09-2018 à 17:35

ne pas confondre Taf88 le demandeur et lyceen qui tentait de l'aider


Bonjour Malou

Est-ce moi qui suis en cause ou non ?... j'avoue ne pas comprendre.

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 18:35

lake @ 07-09-2018 à 18:23

Bonjour,

  En notant u_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n}{k}}{k}, on peut montrer avec la formule de Pascal que:

    u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1} puis une somme télescopique.



Mais bien entendu ! Je suis passé à côté, j'y ai investi trois heures ce jour. Je reprends donc !

Posté par
malou Webmasterre : Demo 07-09-18 à 18:46

lyceen, non pas du tout...je ne suis pas sûre que carpediem ait vu qu'il y avait 2 personnes ....

Posté par
carpediemre : Demo 07-09-18 à 18:54

si si !!! je parlais bien de Taf88

Taf88 @ 07-09-2018 à 11:42

Bonjour .jai besoin d'une piste pour cette qu'estion .demontrer que .somme k=1 jusqu'a n de ((-1)^(k+1)*C_n^k)/k=somme k=1 jusqu'a n de 1/k.C_n^k est le coefficient binomiale.jai assaye de remplacer le coefficient bi'omiale par une expression plus simple mqi je n'aboutis pas.
il y a tous les outils sur le site pour écrire un minimum plus mieux bien lisible cette expression ...

d'autre part ne pas connaitre les règles d'espace (après un point par exemple) rend encore plus illisible ...

de même que de sauter des lignes par exemple ...

Posté par
malou Webmasterre : Demo 07-09-18 à 18:56

parfait !
bonne soirée à tous !

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 18:58

Bonsoir carpediem j'utilise mon telephone portable mon.c'est la raison pour la quelle je ne parvient pas a ecrire les formules.

Posté par
carpediemre : Demo 07-09-18 à 19:00

ok ... alors tu peux oublier mes propos dans ce cas là ... mais pas quand tu utiliseras à nouveau un ordi ...

Posté par
lyceenre : Demo 07-09-18 à 19:04

Me concernant, j'arrête pour ce soir, je reprends l'exercice demain.

Taff88, j'espère que ce n'est pas à rendre pour demain ?

Autre question  : je trouve que cet exercice est un peu élevé en niveau pour des terminales S... mais bon, il se peut que je ne sois pas si bon que ça

Posté par
malou Webmasterre : Demo 07-09-18 à 19:06

Taf88, renseigne ton profil s'il te plait, tu postes à tous les niveaux !!
(modérateur)

Posté par
cocolaricottere : Demo 07-09-18 à 19:11

On peut très bien écrire en LaTeX ou avec les outils de ce forum avec un portable. Ce que je fais depuis presque un an : mon ordinateur ayant été baptisé par un verre d'eau très rempli !

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 19:51

Cocolaricotte tu me montres la maniere dont tu utilises le latex avec les portables.

Posté par
Taf88re : Demo 07-09-18 à 19:52

Merci lyceen a demain .

Posté par
cocolaricottere : Demo 07-09-18 à 19:58

{n \choose k} = \dfrac n k {n - 1 \choose k - 1}

S'obtient avec
{n \choose k} = \dfrac n k {n - 1 \choose k - 1}

A encadrer avec les balise [ tex][/tex]

Posté par
malou Webmasterre : Demo 07-09-18 à 20:24

utilise l'aide à l'écriture Ltx

Demo

Posté par
Taf88re : Demo 08-09-18 à 09:19

Lyceen l'exercice est complique pour les eleves de terminale.sa demande u. Peu de bagage en maths.

Posté par
lakere : Demo 08-09-18 à 09:29

Citation :
jai besoin d'une piste pour cette question .


>>Taf88: Une piste, tu en as une; tu n'as pas besoin d'attendre lyceen pour l'explorer.

Posté par
Taf88re : Demo 08-09-18 à 09:55

Qui lake j'etais entraine de demontrer que u_(n+1)-u_n=1/(n+1) en utilisant la formule de pascale que voici.C_n^k+C_n^(k+1)=C_(n+1)^(k+1).

Posté par
Taf88re : Demo 08-09-18 à 09:56

Mai je me bloque .

Posté par
lakere : Demo 08-09-18 à 10:37

Ce n'est pas très facile en Terminale quand on n'a pas l'habitude de manipuler des sommes et les coefficients binomiaux:

u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n+1}{k}}{k}-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n}{k}}{k}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{(-1)^{n+2}}{n+1}+\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n+1}{k}-\binom{n}{k}}{k} (en sortant le terme pour k=n+1 de la première somme).

u_{n+1}-u_n=\dfrac{(-1)^{n+2}}{n+1}+\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{\binom{n}{k-1}}{k} (avec la formule de Pascal).

u_{n+1}-u_n=\dfrac{(-1)^{n+2}}{n+1}+\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{n+1}\,\binom{n+1}{k} (avec \dfrac{1}{k}\,\binom{n}{k-1}=\dfrac{1}{n+1}\,\binom{n+1}{k})

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}\,\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\,\binom{n+1}{k} (en réintégrant le terme isolé dans la somme).

u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{n+1}\underbrace{\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\,\binom{n+1}{k}}_{[1+(-1)]^{n+1}=0}+\dfrac{1}{n+1} (avec le binôme de Newton).

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}

Posté par
Taf88re : Demo 08-09-18 à 10:51

Bien compris et pour le telescopage??

Posté par
lakere : Demo 08-09-18 à 11:00

Ça, c'est facile:

  \sum_{k=2}^{n}(u_k-u_{k-1})= u_n-u_1=\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k}

  d'où u_n=u_1+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k}=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k} puisque u_1=1

Posté par
Taf88re : Demo 08-09-18 à 11:05

Merci lake .

Posté par
lakere : Demo 08-09-18 à 11:06

De rien Taf88

Posté par
lyceenre : Demo 08-09-18 à 11:07

Bon, lake a été plus rapide que moi. je rédigeais la réponse que je ne reporterai donc pas ici.

Cela a été pour moi un bon exercice !


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