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démo a^n-b^n par récurrence

Posté par
nutella971 20-09-09 à 19:20

Bonjour,
J'ai un gros problème je ne vois pas du tout comment démontrer par récurrence
a^n-b^n= somme de (a^n-1-k * b^k)

Posté par
LeFoure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:22

Bonsoir!
Tu pourrais être un peu plus clair pour la somme ? des k et des n mélangés ...

Posté par
LeFoure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:22

Et mettre des parenthèses aussi s'il te plaît!

Posté par
gui_toure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:23

Salut

en plus c'est faux

Posté par
nutella971précision... 20-09-09 à 19:25

je m'exprime mieux ..
alor G (a^n)-(b^n) = somme de (a^n-1-k)*(b^k)    et comme on peut pas représenter le sigma ou du moins je ne sais pas sur le sigma j'ai n-1  et ou dessous k=0
j'espère avoir été plus clair ...

Posté par
nutella971re : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:27

pourquoi est-ce faux?
a^n - b^n = (a-b) [ a^(n-1) + a^(n-2) b + ... + ab^(n-2) + b^(k-1) ]

Posté par
LeFoure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:30

On n'arrive pas à avoir ou se trouve le -1 et le -k dans ton expression, il faut mettre des parenthèses pour les exposants.

Posté par
gui_toure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:31

il manquait le (a-b)

Pas besoin de récurrence m'enfin bon.

Je note 3$S=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}.

On a :

3$aS=a^{n}+a^{n-1}b+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}
et
3$bS=a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^{n}

quand on fait la différence, il ne reste que 3$S(a-b)=a^n-b^n et hop, CQFD.

Posté par
nutella971re : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 19:33

ah oui désolé il manquait le (a-b) c'est que je suis tellment embété quand je comprends pas en math :s
mais on travaille la récurrence donc il nous faut absolument de la récurrence ...

je reprends    (a^n)-(b^n)= (a-b)* S a^(n-k-1)* b^(k)   avec sur le sigma n-1 et dessous k=0

désolé pour mes erreurs

Posté par
nutella971re : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 20:10

besoin d'aide please

Posté par
LeFoure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 20:29

Soit Pn la relation à démontrer.
Tu fais l'initialisation, très rapide puis tu développes
an+1-bn+1 comme tu l'as fait plus haut avec n, et tu transforme le membre de droite en somme, Hop CQFD!( en remplaçant n par n+1 dans Pn)

Posté par
nutella971re : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 20:44

oui oui je connais la méthode ... juste que, meme au rang n=0 ça marche pas...
mais bon je finiras bien par y arriver

Posté par
gui_toure : démo a^n-b^n par récurrence 20-09-09 à 20:49

Commence la récurrence pour n=1

Posté par
NervaL928re : démo a^n-b^n par récurrence 17-09-14 à 18:24

Salut !
Je déterre de vieux topics, mais les règles suggèrent que c'est mieux, ne m'en veuillez pas !
Pour mettre tout le monde d'accord, je veux montrer que \forall(a,b)\in\mathbb R^2,\;\forall n\in\mathbb N^\star,\;a^n-b^n=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i
Pour l'hérédité, j'en étais arrivé à plusieurs résultats, donc celui-ci :
a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)a^n+ba^n-bb^n=(a-b)a^n+b(a^n-b^n) \\ \\=(a-b)a^n+b(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i \\ \\=(a-b)(a^n+b)\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i \\ \\=(a-b)(a^n+b)\left[\left(\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i\right)-b^n\right] \\ \\=(a-b)(a^n+b)\left[\sum_{i=0}^na^{n-1-i}b^i\right]-(a-b)(a^n+b)b^n \\ \\=(a-b)(a^n+b)a^{-1}\left[\sum_{i=0}^na^{n-i}b^i\right]-(a-b)(a^n+b)b^n

Ca devient un gros fouillis inextricable de a et de b...
Si quelqu'un pouvait me venir en aide, je lui serais reconnaissant
PS : oui, il faut passer par un raisonnement par récurrence...

Posté par
Jygzre : démo a^n-b^n par récurrence 17-09-14 à 18:41

Pourquoi tu fais exprès de répondre à un sujet qui date de 5 ans ?

Posté par
NervaL928re : démo a^n-b^n par récurrence 17-09-14 à 18:45

La règle d'or : 1 topic = 1 exercice. Je la suis à la lettre, puis comme ça on a aussi les réponses qui ont précédé

Posté par
gui_toure : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 11:11

Salut NervaL928,

Tu t'es trompé à la troisième ligne, la bonne factorisation est plutôt :

(a-b)(a^n+b\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i)

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 12:36

Bonjour
il ne reste qu'un changement d'indice à faire dans la somme, et y intégrer le a^n, et le tour est joué ...

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 12:43

salut

si a ou b sont nuls ou égaux l'égalité est trivialement vraie

supposons a non nul

a^n - b^n = a^n(1 - (\frac b a)^n) = a^n(1 - \frac b a)\dfrac {1 - (\frac b a)^n}{1 - \frac b a}

et il suffit de retourner en première pour reconnaître la somme des n - 1 premiers termes d'une suite géométrique de raison b/a

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 12:44

somme des n premiers termes bien sur ....

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 12:44

carpediem, je crois que Nerval voulait comme le posteur initial s'entraîner à la récurrence, sur cet exemple

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:00

ok alors tout simplement

a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b)(a^n + b^n) - ab^n + ba^n = (a - b)(a^n + b^n) + ab(a^{n - 1} - b^{n - 1}) = (a - b)(a^n + b^n) + ab(a - b)\sum_0^{n - 2} a^kb^{n - k} = ....

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:02

pourquoi passer de n-1 à n+1

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:06

je suppose vrai jusqu'à l'ordre n !!!

je calcule à l'ordre n + 1

ho étonnant non ? ce n'est pas de P(n) que j'ai besoin mais de P(n - 1)

n'est ce pas rare ?



PS : c'est un chemin comme un autre (comme celui de Nerval928) mais il a cette particularité .... bien particulière et rare ....

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:10

chacun sa route, chacun son chemin, passe le message à ton voisin ....

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:10

si tu passes de n-1 à n+1 et que tu initialises avec n=1, qu'est-ce qui prouvera que la propriété est vraie pour les rangs pairs ?

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:11

a - b = a - b \\ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:15

autrement dit tu initialises bien avec n= 1 ET n=2, indispensable

Posté par
carpediemre : démo a^n-b^n par récurrence 18-09-14 à 13:29

oui il faut effectivement initialiser avec les deux premiers ...

Posté par
NervaL928re : démo a^n-b^n par récurrence 19-09-14 à 19:51

Bonsoir !
Navré de ma soudaine absence...
J'ai continué (en vain) à chercher la solution à partir de vos indications.
J'ai finalement proposé la solution de gui_tou, qui il est vrai, convient très bien.
J'attendrai donc la correction !
Je posterai la réponse ici, comme ça l'affaire sera close
Encore merci pour votre temps et votre réflexion !

Posté par
gui_toure : démo a^n-b^n par récurrence 19-09-14 à 22:24

Mais, on t'a répondu, as-tu lu mon message de 11h11 et celui de lafol qui suit ?

Posté par
NervaL928re : démo a^n-b^n par récurrence 24-09-14 à 17:11

Salut !
Désolé gui_tou, mais j'avais toujours du mal, même avec ce que vous aviez répondu...
Je poste donc la correction comme prévu. Ce qui me manquait, c'était le changement d'indice (ce dont vous parliez). On n'a jamais fait ça auparavant, donc j'y arrivais pas x(

Hérédité : on suppose \exists k\in\mathbb N : a^k-b^k=(a-b)\sum_{i=0}^{k-1}a^{k-1-i}b^i.
Vrai au rang k+1 : a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)\sum_{i=0}^ka^{k-i}b^i.

a^{k+1}-b^{k+1}=aa^k-bb^k=[(a-b)+b]a^k-bb^k=(a-b)a^k+ba^k-bb^k=(a-b)a^k+b(a^k-b^k)\\ \\ =(a-b)a^k+b(a-b)\sum_{i=0}^{k-1}a^{k-1-i}b^i\\ \\ =(a-b)a^k+(a-b)\sum_{i=0}^{k-1}a^{k-1-i}b^{i+j}\\ \\ =(a-b)a^kb^0+(a-b)\sum_{j=1}^{k}a^{k-j}b^j\;\;\;en\;posant\;j=i+1\\ \\ =(a-b)\sum_{j=0}^{k}a^{k-j}b^j

Le passage de l'avant-dernière ligne à la dernière m'est étranger... Une p'tite explication svp ?

Posté par
lafol Moderateurre : démo a^n-b^n par récurrence 24-09-14 à 20:46

bonsoir

c'est juste qu'on reconnait dans le terme avant la somme le terme pour j=0 de la somme ...

Posté par
NervaL928re : démo a^n-b^n par récurrence 25-09-14 à 18:31

...
Doux Jésus, suis-je bête...
Merci ^^


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