Bonjour,
j'ai un peu de mal à comprendre la fin de ma démonstration sur l'existence d'une base préduale (l'unicité quant à elle ne pose pas de problème). J'introduis les notations que nous avons pu voir pour que vous puissiez comprendre :
nous avons défini un isomorphisme canonique entre un espace vectoriel E et son bidual :
où K est un corps commutatif
et nous avons noté le symbole de Kronecker ainsi :
pour une certaine base (e1,...,en) et sa base duale. Voici maintenant le théorème et sa démonstration :
Pour toute base F de E*, il existe une unique base B de telle sorte que F = B*.
Preuve :
Soit une base de E*. Soit
la base duale de F. Pour tout i
{1,...,n}, notons
. Posons B = (e1, ..., en). Comme L est un isomorphisme, B est une base de E.
Pour tout (i,j) {1,...n}²,
= =
Nous venons de prouver que B est la base antéduale de F."
Ne faudrait-il pas montrer plutôt que
et non
(les indices sont différents) ? Cette notion est très nouvelle pour moi et j'ai un peu de mal avec.
Merci d'avance pour vos réponses.
Salut
si tu es d'accord avec tout le reste alors il ne te reste juste qu'à te rappeler que
si
et
si
et donc du coup
.
Mon dieu que je me sens débile... merci à vous deux pour vos réponses (j'ai passé deux heures sur cette démonstration !!!) je vais enfin pouvoir passer à autre chose...
Bonne journée, merci encore !
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