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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Démo existence d'une base préduale

Posté par
Kernelpanic
26-01-19 à 13:27

Bonjour,

j'ai un peu de mal à comprendre la fin de ma démonstration sur l'existence d'une base préduale (l'unicité quant à elle ne pose pas de problème). J'introduis les notations que nous avons pu voir pour que vous puissiez comprendre :

nous avons défini un isomorphisme canonique entre un espace vectoriel E et son bidual :

L : E \rightarrow E^{**} ~~~~ x \rightarrow L(x)
L(x) : E^{*} \rightarrow K ~~~~ \varphi \rightarrow \varphi (x)

où K est un corps commutatif

et nous avons noté le symbole de Kronecker ainsi : \delta _{i,j} = e^{*}_{i}(e_{j})
pour une certaine base (e1,...,en) et sa base duale. Voici maintenant le théorème et sa démonstration :

Pour toute base F de E*, il existe une unique base B de telle sorte que F = B*.

Preuve :

Soit F = ({f_{1},...,f_{n}) une base de E*. Soit F^{*} = ({f_{1}^{*},...,f_{n}^{*}) la base duale de F. Pour tout i {1,...,n}, notons e_{i} = L^{-1}(f_{i}^{*}). Posons B = (e1, ..., en). Comme L est un isomorphisme, B est une base de E.

Pour tout (i,j) {1,...n}²,
f_{i}(e_{j}) = f_{i}(L^{-1}(f_{j}^{*}))
                = L(L^{-1}(f_{j}^{*}))(f_{i}) = f_{j}^{*}(f_{i}) = \delta _{j,i}

Nous venons de prouver que B est la base antéduale de F."

Ne faudrait-il pas montrer plutôt que

f_{i}(e_{j}) = \delta _{i,j} et non \delta _{j,i} (les indices sont différents) ? Cette notion est très nouvelle pour moi et j'ai un peu de mal avec.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
carpediem
re : Démo existence d'une base préduale 26-01-19 à 13:52

salut

ben on écrit les indices dans l'ordre où ils sont donnés dans la définition du symbole ...

Posté par
milton
re : Démo existence d'une base préduale 26-01-19 à 13:59

Salut
si tu es d'accord avec tout le reste alors il ne te reste juste qu'à te rappeler que
\forall i,j\in\mathbb{N},\ \delta_{i,j}=0  si  i\neq j et 1  si   i=j  et donc du coup    \forall i,j\in\mathbb{N},\ \delta_{i,j}=\delta_{j,i} .

Posté par
Kernelpanic
re : Démo existence d'une base préduale 26-01-19 à 14:03

Mon dieu que je me sens débile... merci à vous deux pour vos réponses (j'ai passé deux heures sur cette démonstration !!!) je vais enfin pouvoir passer à autre chose...

Bonne journée, merci encore !

Posté par
carpediem
re : Démo existence d'une base préduale 26-01-19 à 14:09

merci et à toi aussi

Posté par
luzak
re : Démo existence d'une base préduale 26-01-19 à 14:49

Bonjour !
Et aussi, remets à jour ton énoncé : il manque partout "...de dimension finie..."



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