je up pour esperer avoir une reponse..
Merci d'avance

Bonjour
Attention! Du fait que les composées d'injections (ou surjections) soient de même espèce tu ne peux pas conclure comme tu le fais. Les résultats à connaitre sont:

v o u injective u injective
v o u surjective v surjective

Pour ton problème: hogof injective entraine f injective; fogoh injective, entraine h injective
fogoh surjective entraine f surjective , donc voilà f bijective.

En composant avec f^-1 à gauche fohog, on a hog surjective, donc h aussi est bijective, et enfin, en composant hogof avec f^-1 à droite, on voit que hog est injective, donc g est injective. Enfin, en composant fohog avec f^-1oh^-1 à gauche, on récupère la surjectivité de g.

voila je n'ai pas compris quelquchose dans votre  explication ,

"En composant avec f-1 à gauche fohog, on a hog surjective, donc h aussi est bijective, et enfin, en composant hogof avec f-1 à droite, on voit que hog est injective, donc g est injective. Enfin, en composant fohog avec f-1oh-1 à gauche, on récupère la surjectivité de g. "

Est ce pas le contraire entre les deux terme souligné car si on à fof^-1 ohog on a donc hog injective car hog est a droite .. et pour hogofof^-1 on a hog surjective car hog est à gaucche ..

Merci pour votre aide

fohog est surjective par hypothèse, f^-1 est surjective, Je compose à gauche, je trouve que hog est surjective (composée de 2 surjectives) puis que h est surjective, d'après la proposition que j'ai rappélée et j'avais déjà h injective.

De même, hogof est injective par hypothèse, f^-1 est injective, donc hog est injective donc g est injective.

Je vais parraitre maniac masi voila redigé ma demonstration mais il me semble que il  y a malgres tout des incoherences ...



On a d'apres theoreme hogof injective donc f inject.
gofoh injective sonc h injective
fohog surjective donc f surjective
f est injective et surjective donc bijective
De plus fohog surjective et f^-1 surjective car f bijective donc fof^-1ohog est surjective car la composé de deux application surjective est une application surjective et on a fohog surjective.
Donc h surjective donc h est inj et surje donc bijective .

De meme hogofof^-1 injective car la composé de deux applications injective  et une application injective  donc g est injective
De plus fof^-1ohog surjective donc g est surjective donc g est sur et inj donc bijective

bon je vois pas ou est mon erreur je vais donc m'arreter là si personne s'y oppose
merci