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démo theoreme de Kolmogorov(probas)

Posté par
robby3 27-03-08 à 19:11

Bonsoir tout le monde,
dans la démo du theoreme de Komogorov,je ne comprend un truc:

le thm: 6$ \rm P(Max|S_k|\ge \epsilon)\le \frac{E(S_n^2)}{\epsilon^2}

la démo:
Max|S_k|\ge \epsilon=\Bigcup A_p
ou A_p=\{|S_1|<\epsilon,..,|S_{p-1}|<\epsilon,|S_p|\ge \epsilon\}

les A_p sont disjoints(ça ok) et S_n-S_p est indépendnate de S_p.1_{A_p} d'espérance nulle(là je comprend pas,c'est quoi qui est d'espérance nulle?pourquoi as t-on l'indépendance?)
D'ou
E(S_n^2.1_{A_p})=E((S_n-S_p)^2.1_{A_p})+E(S_n^2.1_{A_p})\ge \epsilon^2.P(A_n) \\
d'ou sort l'égalité et l'inégalité?!
le reste j'ai pigé.
Merci d'avance de votre aide.

Posté par
stokastikre : démo theoreme de Kolmogorov(probas) 28-03-08 à 09:33

Je suppose que  Sn  est la somme partielle d'une suite de v.a. iid ?

S_n = X_1+\ldots + X_n

Donc S_n-S_p=X_{p+1}+\ldots + X_n est indépendante de S_p= X_1+\ldots + X_p par l'indépendance des X_i.

Je pense qu'on a l'espérance nulle parce que E[X_i]=0 doit être dans les hypothèses...

Pour l'égalité tu écris S_n=(S_n-S_p)+S_p et quand tu mets au carré et que tu prends l'espérance tu vois que l'espérance du double produit est nulle car
E[(S_n-S_p)\times S_p \times 1_{A_p}] = E[S_n-S_p]\times E[S_p \times 1_{A_p}] en raison de l'indépendance, et E[S_n-S_p]=0.

Posté par
robby3re : démo theoreme de Kolmogorov(probas) 28-03-08 à 18:24

salut Stokastik!
Merci bien pour l'explication!


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