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Démonstation d'une formule
Bonsoir ! J'adore les maths , le seul problème c'est qu'au lycée ou nous balance des formules sans nous les expliquer , en général je me les démontre moi même mais je n'y arrive pas. C'est la formule de l'abscisse du sommet d'une parabole (fonction polynomes du second degré)
Si jamais quelqu'un sait m'aider je suis preneur.
Merci belle soirée.
Bonsoir,
Parabole : y = ax²+bx+c
As-tu étudié les dérivées ?
Si oui, la dérivée est nulle au sommet :
y' = 2ax+b
2ax+b = 0 => x = -b/2a
Si tu n'as pas encore étudié les dérivées, alors il faut pour l'instant l'accepter comme ça 
Je sais, c'est agaçant 
Bonsoir
l'équation d'une parabole courbe représentative d'une fonction est
on met cette expression sous forme canonique
on considère que est le début du développement de
on a donc
on reporte dans l'expression
en réduisant le terme constant on obtient
que l'on peut écrire en posant et
en étudiant le sens de variation on démontre que si la fonction est décroissante sur
et croissante sur
la fonction admet donc un minimum en c'est bien l'abscisse du sommet de la parabole
si le sommet est aussi obtenu pour
on vous en fera la démonstration en première
Salut
Toute fonction f de degré 2 définie sur R par peut s'écrire sous la forme :
Pour le démontrer, et bien tu pars de la forme développée :
comme f est du second degré, tu sais que O, sinon on retombe sur une fonction affine
mise en facteur
et là tu reconnais le début d'une identité remarquable dans
tu en déduis
Tu poses et
pour avoir
et ton alpha est l'absisse du somment
Voilà, je t'ai recopié ce que l'on a fait en séance TD
Oui mais vous me posez des = abscisse du sommet etc et vous me montrez comment mettre le trinomes sous formes canoniques , ça je sais faire , juste mise a part la démo avec la dérivé précedente rien ne montre que -b/2a est le sommet
ça j'ai bien compris , apha -b/2a et beta f(-b/2a) , mais le truc c'est que je vois pas d'où on peut afirmer que -b/2a est l'abscisse du sommet.(je suis têtu 
)
je vous ai dit que l'on démontrait dans le cas où était strictement positif que la fonction était décroissante avant
et croissante après
ce qui veut bien dire que pour ,
admet un minimum pour la fonction donc le sommet de la parabole a bien comme coordonnées
ou que est un axe de symétrie pour la courbe ( repère orthonormé)
il faut démontrer que :
si a > 0
f est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
si a < 0
alors f est strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
pour cela il faut comparer deux images et utiliser le théorème de la fonction croissante et de la fonction décroissante et comme est la droite qui représente l'axe de symétrie
et bien tu démontres du même coup : est l'abscisse
Je me suis aider de vos idées pour vous montrer ce que j'ai trouver ,
Soit f la fonction f : 
ax²+bx+c
On résout : f(x) = c
On a : x = 0 ou x = -b/a
On calcule le milieu des deux points :
0 + (-b/a) /2 = -b/2a
Là on trouve que l'axe de symétrie est en x = -b/2a
Corrigez moi si faux.
Merci pour votre aide
là j'ai résolu f(x) =c pour avoir les deux solution , calculer le milieu des deux solutions et donc avoir l'équation de l'axe de symétrie et donc avoir l'abscisse du sommet
tu poses f(x) = c <=> ax² + bx + c = c <=> ax² + bx + c - c = 0 <=> ax² + bx = 0 <=> x (ax + b) = 0 <=> x = 0 ou x = -b/a
Exactement , et après j'ai calculé le milieu des deux points (solutions) et donc qui m'a fait x=-/2a car 0+(-b/a)/2 = -b/2a et donc l'axe de symétrie a pour équation x=-b/2a et donc l'abscisse du sommet est x= -b/2a
un cas particulier n'est pas le cas général
pour montrer que est un axe de symétrie
on considère deux points M et M' tels que et
étant un réel quelconque on montre alors qu'ils ont même ordonnée
il n'y a pas d'astuce dans la démonstration du sens de variation de
elle s'appuie sur le sens de variation de la fonction carré et des propriétés de < sans oublier bien entendu de la définition d'une fonction croissante ou
décroissante
on considère deux réels et
tels que
et on va construire au fur et à mesure la fonction
maintenant pour pouvoir appliquer le sens de variation de la fonction carré il faut que ces éléments soit ou positifs ou négatifs
donc on rectifie
on a donc
en passant au carré on a
on multiplie par donc 2 cas
ou
je vais continuer avec donc
compatibilité avec la multiplication par un réel strictement positif
on ajoute donc
soit
on a donc montré
que pour 2 réels quelconques supérieurs à leurs images sont rangés dans le même sens par conséquent la fonction est strictement croisssante sur
même raisonnement si l'on prend deux réels plus petits que ou si a<0
Non j'ai divisé par deux pour avoir le milieu et ainsi l'équation des l'axe de symétrie le milieu de 0 + (-b/a) = -b/2a donc l'equation de l'axe est x=-b/2a et donc l'abscisse Du sommet est -b/2a.
Merci hekla pour la demo du sens de variation
oui il faut connaître les variations de la fonction carré
avant de généraliser aux fonctions du second degré le sens de variation, on commence par la plus simple soit
Tu dis que pour appliquer le sens de variation de la fonction carré il faut que ces éléments soient ou positifs ou négatifs
mais le signe de et bien on ne le connait pas
ce qui nous intéresse est le signe de ou
si ces éléments sont positifs c'est que et
sont plus grands que
donc au lieu de considérer deux réels quelconques on les prend plus grands que
on a bien alors et là on sait que si on élève au carré ils seront rangés dans le même ordre
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