Bonjour

On considère la norme et N une norme quelconque.
Soit (e₁,e₂) la base canonique.

Alors



Je te laisse montrer que

salut niftyeh

on l'a faite juste avant les vacances mais elle n'est pas au programme de sup
La voici (il en existe peut etre une plus courte)

Soit Bc=(e1,e2) la base canonique de R2
Soit || || une norme quelconque de R2

1°) montre que u=x.e1+y.e2R2, +*, ||u||||u||
Pour cela tu utilise l'inégalité triangulaire et tu pose alors =||e1||+||e2||

2°) Montre que les propositions suivantes sont équivalentes
(p1) : >0, u² ||u||||u||
(p2) : >0, u², (||u||=1)(||u||>^-1
p1 implique assez facilement p2
Pour p2 implique p1, considère deux cas u0 et tu poses alors v=u/||u|| et tu applique p2, le cas u=0 est trivial

3°)Suppose que les normes || || et || || ne sont pas équivalentes. et donc p2 est fausse d'ou
n*, un=(xn,yn)², ||un||=1 et ||un||1/n
Donc comme un est bornée tu applique le théorème de Bolzano Weiertrass donc il existe une sous suite convergente pour || ||2 et donc pour une des trois normes équivalentes de R2
Il existe donc une sous suite convergente pour || || que tu note(n) et tu notes u=(a,b) cette limite. comme limite (quand n tend vers +)||u(n)||=||u|| d'ou ||u||=1
on sait de plus selon 1 que
0||u(n)-u||||u(n)-u||
Selon le théorème des gendarmes (||u(n)||) converge vers ||u||
Or n[smb]N[/smb]*, 0||u(n)||1/(n)<1/n.
D'où selon le théorème des gendarmes ||u||=0 d'ou u=0 : contredit ||u||=1.

Donc les normes || || et || || sont équivalentes.

C'est un peu laborieux comme démonstration mais elle est assez jolie

Rebonjour

En effet, j'ai été trop optimiste pour la réciproque! D'une manière ou d'une autre il faut utiliser la compacité du cercle unité. La démonstration que donne alex49 est une de ces manières qui utilise la caractérisation des compacts par B-W.

Bonjour,

fixe N1 la norme définie par N1(x.e + y.f) = max(|x|,|y|), où (e,f) désigne la base canonique de R².

Soit N une autre norme sur R², il suffit de démontrer que N et N1 sont équivalentes.

On a déjà par inégalité triangulaire :






ce qui prouve la moitié du théorème.

De plus, cela prouve que N est une application continue de R² muni de la norme N1 dans R, puisque pour tous vecteurs u et v, la majoration précédente fournit:

.


Soit S la sphère-unité fermée pour la norme N1.

S est un compact de (R²,N1) (résultat connu).

N est continue sur ce compact S, donc y admet un minimum m.

m est non nul puisque S ne contient pas 0 et que N est une norme.

Alors pour tout vecteur u non nul de R², v=u/N1(u) est sur S, ce qui permet d'écrire:




, autrement dit .


Ce qui achève de prouver le théorème.


Remarque: on généralise sans aucune peine ce résultat à Rⁿ.

Oups, un peu en retard!

Bonjour tout le monde!!

Bon ça va, au moins j'ai proposé autre chose que ce qui a été proposé!

_{Je me suis un peu emmêlé les pinceaux au brouillon, d'où mon peu de rapidité!}

Salut Tigweg _{comme on peut le voir plus haut, la rapidité n'est pas gage de qualité}

Je ne vois aucune erreur dans ce que tu avais écrit Camélia!

Même s'il est vrai que la réciproque était le sens "problématique"!

Merci a vous tous pour vos reponses!!!! Je me penche tout de suite sur vos demonstrations (excusez moi je reviens de dejeuner donc c'est pour ca que j'ai mis un peu de temps a repondre )
Encore une fois merci!

Rebonjour, j'ai regarde chacune de vos demonstrations et j'ai quelques questions qui pourront peut-etre vous sembler betes.....
Les voici:

Pour Camelia:
Au debut de ta demonstration tu utilises la meme approche que Tigweg. Cela dit, ensuite tu veux montrer que
||(x1,x2)||<= sup(N(e1),N(e2)).
Pourquoi??

Pour Tigweg:
Pourrais-tu m'expliquer ce qu'est un compact?? Nous ne l'avons pas vu en cours...

Pour Alex 49:
Je te l'accorde, ta demonstration est assez belle mais elle m'a l'air bien plus compliquee que celle de Camelia et de Tigweg....

Je vous remercie beaucoup pour votre aide!!

Alex 49 j'ai une petite question sur ta demonstration

dans la 3eme partie de celle-ci quand on suppose que les deux normes ne sont pas equivalentes.
Pourquoi alors on peut dire que P2 est fausse??? Parce que P1 est fausse??
Merci!!! :)

si les normes sont équivalentes alors p1 est vraie et donc p2 est vraie et si elle ne sont pas équivalentes alors p1 est fausse et donc p2 est fausse

ooo ok
merci beaucoup!!!

Autre petite question Alex49,

D'ou est-ce que tu sors cette inegalite:
||U(n)||<=1/(n)<=1/n??

Pour ce qui me concerne, avec plaisir niftyeh!

Si tu n'as pas vu les compacts dans R², je pense que la démo que je propose est peut-être inadaptée.

Un compact de R² en est un fermé borné (pour une certaine norme).

Un théorème dit qu'une fonction continue sur un compact de R² y est bornée, et y atteint ses bornes, tout comme sur R.

Maintenant peux-tu utiliser tout ceci?

Merci beaucoup pour ta reponse Tigweg!
Je comprends un peu mieux la derniere partie de ta demonstration et je garde ton explication en tete. Cela dit, j'ai peur de me faire coincer dessus en kholle vu que je ne maitrise pas vraiment cette notion et que l'on ne l'a pas vu en cours .... Je referai surement celle d'Alex49 qui utilise des elements que l'on a deja vu.... Neanmoins cette deuxieme approche pour ce theoreme ne m'aura pas ete inutile vu qu'elle utilise d'autres elements. Une fois ceux-ci vus, ta demonstration deviens trois fois plus simple (ou du moins moins laborieuse) que celle d'Alex49.
Encore une fois, merci beaucoup pour ton aide!

Tu as tout-à-fait raison, d'autant plus que la démo que j'ai proposée s'adapte sans rien changer aux espaces de dimension n.

Je te félicite pour ta ténacité et te remercie pour ta gentillesse.Bon courage pour ton exposé!

Merci beaucoup Tigweg!!!

(n)>n (car est une suite strictement croissante de N dans N et différente de Id) donc tu passe à l'inverse et tu as aussi ||un||1/n donc ||u(n)||1/(n)<1/n

oki!! merci beaucoup alex49!