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démonstration

Posté par tpac (invité) 07-09-05 à 16:17

Je ne vois pas comment démontrer ceci :
a et b strictement positif et 0x1

(ax+(1-x)b) + (bx+(1-x)a)a + b

merci pour vos réponses

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration 07-09-05 à 16:34

Utiliser la concavité de la fonction "racine carrée".

Posté par tpac (invité)re : démonstration 07-09-05 à 17:05


merci d'avoir répondu mais qu'est ce que la concavité d'une fonction ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration 07-09-05 à 17:10

Posté par tpac (invité)re : démonstration 07-09-05 à 17:27


je ne vois toujours pas comment faire, ya t'il une autre façon de le démontrer.

SVP

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration 07-09-05 à 17:37

Il suffit d'appliquer la définition donnée dans le lien !

La fonction "racine carrée" est concave, donc :
V(ax+(1-x)b) \ge ax+(1-x)b
et
V(bx+(1-x)a) \ge bx+(1-x)a

Puis fais la somme des deux.

Posté par tpac (invité)re : démonstration 07-09-05 à 17:44

OK

merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : démonstration 08-09-05 à 02:25

Bonsoir tpac,bonsoir Nicolas_75;
on peut aussi faire une petite étude de la fonction:
2$\fbox{\{{f:[0,1]\to\mathbb{R}\\x\to\sqrt{ax+(1-x)b}+\sqrt{bx+(1-x)a}}
ona:
2$\fbox{\{{f(0)=f(1)=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\f'(x)=\frac{a-b}{2}(\frac{1}{\sqrt{ax+(1-x)b}}-\frac{1}{\sqrt{bx+(1-x)a}})=\frac{(a-b)^2}{2}\frac{1-2x}{\sqrt{ax+(1-x)b}\sqrt{bx+(1-x)a}(\sqrt{ax+(1-x)b}+\sqrt{bx+(1-x)a})}}
d'où:
3$\fbox{\begin{tabular}{|c|ccccc||}x&0&&\frac{1}{2}&&1&\\{f'}& &+&0&-&\\{f}&&\nearrow&&\searrow&&\\\end{tabular}}


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