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Démonstration Arithmétique

Posté par
pfff 13-05-20 à 21:58

Bonsoir je ne sais pas comment faire cet exercice, merci de m'éclairer

ÉNONCÉ

On a  x-3y 0 [7] et y +2x 0 [7]

En utilisant ceci démontre que  :
y 0 [7] si et seulement si x0 [7]

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:13

Bonsoir,

Avec tes hypothèses:

4(y+2x)+(x-3y)\equiv 0\;[7]

Ou encore:

y\equiv -9x\equiv 5x\;[7]

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:28

je préfère la 2e méthode. Mais comment on obtiens les 9x

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:34

Là, j'ai du mal à te suivre.

Les « {\red -}9x »:

As-tu pris la peine de développer et réduire 4(y+2x)+(x-3y) ?

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:37

Désolé j'ai oublié  le  -....

Ah je vois je pensais que vous m'aviez présenté deux méthodes...

Mais pour quoi vous avez mis 4 en facteur ?

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:38

Les hypothèses sont :

x-3y 0 [7] et y +2x 0 [7]

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:40

Mais pour qu'au final on ait un coefficient 1 pour y!

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:44

Ah d'accord... C'est logique.

Merci !

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:50

On aurait pu aussi se débrouiller pour avoir 1 comme coefficient de x:

y+2x-(x-3y)\equiv 0 \;[7] qui donne:

x\equiv -4y\equiv 3y\;[7]

et qui aboutit au même raisonnement/résultat

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 22:55

Merci !

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 23:38

J'espère que tu as pu terminer l'exercice ...

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 13-05-20 à 23:54

oui oui voila

on a :
x-3y0[7} (2)
y+2x0[7] 4y + 8x 0 [7] (1)

(1)-(2) y + 9x 0 [7]
               y 5x[7] or x0[7}

en conclusion y0[7]

Posté par
co11re : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 00:10

Bonsoir,
j'arrive tard .... mais je propose:
- on suppose que 7 divise y
   Alors,  puisque 7 divise  x - 3y , on en déduit que 7 divise x -  3y +3y =x
- on suppose que 7 divise x   ............................

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 00:12

C'est un peu court ... Je te propose ceci:

Les hypothèses de l'énoncé impliquent y\equiv5x\;[7]

x\equiv 0\;[7]\Longrightarrow y\equiv 0\;[7]

y\equiv 0\;[7]\Longrightarrow 5x\equiv 0\;[7]\Longrightarrow 7\text{ divise }5x\Longrightarrow 7\text{ divise }x d'après Gauss puisque 7 est premier avec 5
  donc x\equiv 0\;[7]

On a bien l'équivalence: y\equiv 0\;[7]\Longleftrightarrow x\equiv 0\;[7]

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 00:17

Donc si je comprends bien si et seulement si fait ressortir le terme d'équivalence ?

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 00:22

A\Longleftrightarrow B signifie (A\Longrightarrow B \text{ et }B\Longrightarrow A)

En français: « si et seulement si ».[quote]

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 00:33

Ah d'accord !
Encore merci

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 15:07

Je reviens vers toi parce que je me rends compte que j'ai été cherché midi à 14 heures; je ne sais pas où j'avais la tête...

  

Citation :
On a  x-3y 0 [7] et y +2x 0 [7]



  La première congruence (par exemple) suffit:

   x-3y\equiv 0\;\;[7]\Longleftrightarrow x\equiv 3y\;\;[7]

Si y\equiv 0\;\;[7], alors x\equiv 0\;\;[7]

et si x\equiv 0\;\;[7], alors 3y\equiv 0\;\;[7], donc y\equiv 0\;\;[7] avec Gauss.

Ce qui se résume en x\equiv 0\;\;[7]\Longleftrightarrow y\equiv 0\;\;[7]

On arrive au même résultat avec la seconde congruence.

Très franchement, je ne comprends pas la logique de cet exercice; mais peut-être que tu ne nous as pas tout dit...

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 15:14

Citation :
La première congruence (par exemple) suffit

Ok d'accord !

Citation :
mais peut-être que tu ne nous as pas tout dit...

la question disait de démontrer que y  0 [7] si et seulement si x0 [7] en utilisant ce qui était donné auparavant

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 15:17

Bon alors on peut utiliser l'une ou l'autre des congruences données dans l'énoncé.

C'est très bizarre.

Encore une fois, désolé de t'avoir embarqué dans des complications inutiles.

Posté par
pfffre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 15:50

Pas la peine
j'ai compris, c'est l'essentiel

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 15:52

Posté par
carpediemre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 17:02

salut

lake @ 14-05-2020 à 15:07

Très franchement, je ne comprends pas la logique de cet exercice; mais peut-être que tu ne nous as pas tout dit...

lake @ 14-05-2020 à 15:17

C'est très bizarre.
finalement je trouve cet exercice très intéressant :

il ne nécessite que la propriété : a \equiv b  [n] $ et $ c \equiv d [n] => ac \equiv bd [n]

et éventuellement la propriété a \equiv b[n] $ et $ c \equiv d  [n] si on veut travailler par combinaison linéaire

(formules déjà rappelées par mathafou dans un autre fil ...)

ici simplement par substitution on a :

x - 3y = 0 [7]  <=> x - 3y + 7n = 0     et il y a une infinité de solutions
2x + y = 0 [7] <=> 2x + y + 7m = 0  et i y a une infinité de solutions

on a deux plans et l'intersection de deux plans est une droite

mais il y a une unique solution quand l'une des coordonnes x ou y  est nulle : c'est la solution (0, 0, 0) ... qui appartient bien à la droite d'intersection ...

Posté par
lakere : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 17:20

Bonjour carpediem,

Là, tu donnes dans l'hermétisme voire la Kabbale ?

Je ne comprends rien d'autant plus qu'une des deux hypothèses de l'énoncé suffit pour conclure.

Pourrais-tu être plus explicite ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 17:39

Bonjour,
Plus on est de fous
Si je comprends bien l'énoncé :
On a la donnée de deux congruences.
a) x-3y 0 [7]
b) y +2x 0 [7]

Si \; y 0 [7] \; alors, d'après a), on a \; x 0 [7] .
Si \; x 0 [7] \; alors, d'après b), on a \; y 0 [7] .

Ça ressemble au message de lake, mais sans Gauss.
Quant au message de carpediem, je n'y comprends rien non plus.
C'est vrai qu'une seule des données, a) ou b) suffit et que c'est bizarre et pas intéressant.

Si on avait le contexte...

Posté par
carpediemre : Démonstration Arithmétique 14-05-20 à 18:40

je proposais simplement une vision géométrique de la situation ... même si je suis d'accord  qu'une seule relation suffit ... et que cet question seule n'a guère d'intérêt ...

en fait comme dans beaucoup d'exo de ce type on se demande quels sont les objectifs et attendus ... et sans comprendre on n'en voit guère l'intérêt effectivement ...

PS : biffer la phrase "ici simplement ..." dans mon précédent msg ...


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