Bonsoir à tous,
Caractérisation des isomorphismes :
Si, f : E --> F linéaire et dim E = dim F
alors, f isomorphisme f injective
f surjective
Preuve :
Mq f isomorphisme f injective
or f injective ker f = ( 0E )
dim E = 0 + dim ( Imf ) théorème du rang
dim F = dim Imf
F = Imf ( car Imf
F )
f surjective
Voila la démonstration, mais je ne comprend pas en quoi cela prouve que :
Si, f : E --> F linéaire et dim E = dim F
alors, f isomorphisme f injective
f surjective
:?
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Je pense que la réponse est simple ? Quelqu'un pourrai m'expliquer, merci
Une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si elle est bijective , c.-à-d. si et seulement si elle est injective et surjective.
Si tu montres que pour une application linéaire entre espaces vectoriels de même dimension finie, "injective" équivaut à "surjective", ... je te laisse conclure.
Ce n'est plus de l'algèbre linéaire, juste de la logique élémentaire.
Pour voir si tu as bien capté, peux tu expliquer pourquoi la démonstration donnée permet de voir que "f injective" entraîne "f isomorphisme" ?
On part de f injctive et grace au théroreme du rang , a l'hypothèse de départ etc on trouve
f injective f surjective
c'est donc un isomorphisme
C'est bien cela ?
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