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Niveau Licence Maths 1e ann
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Démonstration caractérisation des isomorphismes

Posté par
MisterNachos
09-03-15 à 18:40

Bonsoir à tous,

Caractérisation des isomorphismes :

Si, f : E --> F linéaire et dim E = dim F
alors, f isomorphisme f injective
                                       f surjective

Preuve :

Mq f isomorphisme f injective

or f injective ker f = ( 0E )
                       dim E = 0 + dim ( Imf ) théorème du rang
                       dim F = dim Imf
                       F = Imf ( car Imf F )
                       f surjective

Voila la démonstration, mais je ne comprend pas en quoi cela prouve que :

Si, f : E --> F linéaire et dim E = dim F
alors, f isomorphisme f injective
                                       f surjective                                

:?:?:?:?:?

Je pense que la réponse est simple ? Quelqu'un pourrai m'expliquer, merci

Posté par
Robot
re : Démonstration caractérisation des isomorphismes 09-03-15 à 19:02

Une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si elle est bijective , c.-à-d. si et seulement si elle est injective et surjective.
Si tu montres que pour une application linéaire entre espaces vectoriels de même dimension finie, "injective" équivaut à "surjective", ... je te laisse conclure.
Ce n'est plus de l'algèbre linéaire, juste de la logique élémentaire.

Posté par
MisterNachos
re : Démonstration caractérisation des isomorphismes 09-03-15 à 19:07

Ah d'accord, donc la démonstration est bon car on trouve injective et surjective rien a rajouter ?

Posté par
Robot
re : Démonstration caractérisation des isomorphismes 09-03-15 à 19:20

Pour voir si tu as bien capté, peux tu expliquer pourquoi la démonstration donnée permet de voir que "f injective" entraîne "f isomorphisme" ?

Posté par
MisterNachos
re : Démonstration caractérisation des isomorphismes 09-03-15 à 19:28

On part de f injctive et grace au théroreme du rang , a l'hypothèse de départ etc on trouve

f injective f surjective

c'est donc un isomorphisme

C'est bien cela ?

Posté par
Robot
re : Démonstration caractérisation des isomorphismes 09-03-15 à 21:39

Je dirais plutôt ça comme ça : On suppose f injective. La démonstration plus haut montre qu'alors f est aussi surjective, et donc f est à la fois injective et surjective, c'est un isomorphisme.
Mais c'est en gros la même chose.



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