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Démonstration conjoncture courbe empruntée par un point
Bonjour, je poste ce message car je bloque sur un exercice en rapport avec la géométrie, les équations de droite dans un repère orthonormé de niveau 1ereS.
Énoncé : Dans un repère soit A(1;2). On trace une droite d quelconque passant par A et non parallèle aux axes du repère : elle coupe les axes en P et Q. Soit M le milieu du segment [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à M.
Quelle courbe semble parcourir A' quand la droite d "tourne" autour de A ? Démontrez la conjecture.
Premièrement j'ai construit une figure sur géogebra avec Q l'ordonnée à l'origine et P le point d'intersection avec l'axe des abscisses. Après manipulation j'ai conjecturé que le chemin emprunté par le point A' était celui d'un hyperbole. Donc je dois démontrer cette conjoncture, j'étais déjà bloqué et après avoir demandé de l'aide à mon professeur il m'a répondu que je devais exprimer l'équation de la droite en fonction du coefficient directeur placé comme une variable , calculer P et Q en fonction de m pour commencer si je me souviens bien. Si vous pouviez m'indiquer une procédure à suivre ou me donner quelques indices en rapport avec ce que m'a dit mon prof et qui pourraient m'aider à commencer. Merci d'avance à tout ceux qui prendront la peine de me répondre.
bonjour
équation de la droite : forme y = mx+p
puisqu'elle passe par A(1;2), on a : 2 = m*1+p 
p = 2-m
ainsi l'équation de la droite s'écrit : y = mx + 2-m
par géogébra, tu définis un curseur m et tu traces la droite
tu places le point A
en faisant varier le curseur, tu vois la droite "tourner" autour du point A
à partir de cette équation, trouves les coordonnées de P, Q et M, A'
etc.
Bonjour,
Je trouve que la question : Démontrez la conjecture, est un peu abrupte !
On ne sait pas si Ism2t est venu à bout de cette démonstration....
Si oui, bravo ; il va pouvoir VERIFIER dans ce qui suit.
Si non, il mérite qu' on l'aide un peu plus, s'il rode encore dans les parages 
.
Donc on part de y = mx + 2-m.
On détermine les coordonnées de Q ( ; ) de P( ; )
On en déduit les coordonnées de M ( ; )
1ère difficulté : trouver les coordonnées de A'
Perso, j'ai utilisé la relation vectorielle vect(AA') = 2 vect(AM)
xA' = ???
yA' = ???
Ces 2 coordonnées dépendent bien sûr de.... m.
2ème difficulté (relative puisque les 2 expressions précédentes sont très simples) : trouver la relation liant xA' et yA'. Cette relation est l'équation de la courbe décrite par le point A'.
Excusez moi de répondre si tard et encore merci pour vos réponses @ZEDMAT, j'ai bien trouvé les coordonnées de A en utilisant également la relation vectorielle soit A(-2/m;-m) . J'ai vérifié en calculant différentes images sur GeoGebra et cela colle à quelques décimaux prêts ( sûrement l'arrondi). Le problème qui me bloque depuis un petit moment est pourquoi en rentrant les coordonnées de ce point sur géogebra je n'obtiens pas une hyperbole ou du moins la courbe que j'avais au départ. C'est probablement du à un probléme de manipulation avez vous une idée ?
Au niveau de la "2nd difficulté" voici ce que j'ai fais :
xA'=-2/m
xA'*m=-2
m=-2/xA'
-m = 2/xA'
Je remplace donc dans l'autre équation on obtient donc yA' = 2/xA'.
Je vous remercie pour avoir prit la peine de me répondre, c'est mon premier post sur ce forum et je suis ravi.
La courbe décrite par A' est effectivement l'hyperbole d'équation y = 2/x.
Je ne comprends pas bien ta difficulté avec GEOGEBRA.
Si tu as activé le mode "trace" du point A', tu as vu apparaître la fameuse hyperbole.
Quand tu as obtenu par le calcul l'équation de cette hyperbole, tu demandes son tracé en saisissant y = 2/x.
Et lorsque tu déplaces à nouveau le point A', tu peux alors constater qu'il décrit la courbe d'équation y = 2/x.
D'accord c'est noté, j'entrais le point A avec ses coordonnées de forme A[(-2+m)/m;-2-m] avec un curseur m et non la relation liant ces deux équations.
bonjour
attention, c'est A(1;2) et A'(-2/a;-a) ==> A' décrit l'hyperbole d'équation y=2/x
je ne comprends pas à quoi correspondent ces coordonnées : ((-2+m)/m;-2-m)
Oui A' faute d'inattention et effectivement étant donné que j'ai tiré mes réponses de mon brouillon ( pas très propre) j'ai confondu avec une autre valeur. Merci de m'avoir corrigé.
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