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Démonstration d'une égalité

Posté par
cfg977 18-12-22 à 14:56

Bonjour,

Je voudrais montrer l'égalité suivante :

Pour$ tout n \in \mathbb{N^*}, \prod_{k=1}^{n-1}{sin(\frac{k\pi}{n})} = \frac{n}{2^{n-1}}

J'ai essayé une démonstration par récurrence, ça n'a pas marché.
D'un autre côte ce produit me fait penser aux racines d'un polynôme s'écrivant avec sinnx. Je n'arrive pas à en trouver un.

Posté par
Dostore : Démonstration d'une égalité 18-12-22 à 15:22

Bonjour

Utilise la formule d'Euler pour transformer ton sinus. Ensuite les racines n-ieme de l'unité.

Posté par
carpediemre : Démonstration d'une égalité 18-12-22 à 17:26

salut

multiplie par cos (k pi /n)

Posté par
carpediemre : Démonstration d'une égalité 18-12-22 à 17:27

pardon ... oublie ...

Posté par
lakere : Démonstration d'une égalité 18-12-22 à 17:40

Bonjour,

On peut montrer que :

1+X+X^2+\cdots +X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{\frac{2ik\pi}{n}})

Puis avec X=1, factoriser e^{\frac{ik\pi}{n}} dans le produit et passer aux modules.

Posté par
cfg977re : Démonstration d'une égalité 18-12-22 à 19:40

Oui ça marche bien merci !

Posté par
jeansebre : Démonstration d'une égalité 19-12-22 à 12:31

Joyeux Noël Lake!

Posté par
lakere : Démonstration d'une égalité 19-12-22 à 13:11

Joyeux Noël jeanseb !
Amitiés.


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