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Niveau Licence Maths 1e ann
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Démonstration d’une équivalence

Posté par
Fayssal
26-10-22 à 12:57

bonjour!
Ma préoccupation est portée sur ce sujet:
soient E et F deux ensemble et f: E F une application.Soient A, une partie de E et B une partie de F.Montrer l'équivalence suivante:

f est injective si et seulement f-1(f(A))=A

j'ai commencé par supposer
f-1(f(A))=A  pour montrer que f est injective mais je trouve des difficultés à le faire.
merci de m'aider j'ai réfléchi sur ça mais pas d'idée .merci

Posté par
Ulmiere
re : Démonstration d’une équivalence 26-10-22 à 13:34

Il y a une inclusion qui est toujours vraie, c'est A \subseteq f^{-1}(f(A)) parce que tout a\in A est dans l'image réciproque de {f(a)},  donc dans l'image réciproque de f(A).


Tu devrais commencer par l'autre sens. Suppose que f est injective et suppose trouvé un x\in E\setminus A tel que f(x)\in f(A)

alors ...
donc x = ...
contradiction

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration d’une équivalence 26-10-22 à 14:34

Bonjour,
L'énoncé me semble douteux.
A quoi sert B ?
Et si A est un singleton...
Exemple :
f de vers définie par f(x) = x3 - 3x .
Avec A ={3}, on a f-1(f(A)) = A.
Mais f(1) = f(-2).

Posté par
carpediem
re : Démonstration d’une équivalence 26-10-22 à 14:37

salut

il manque le quantificateur : pour toute partie A ...

Posté par
Ulmiere
re : Démonstration d’une équivalence 26-10-22 à 14:50

Ton exemple n'est pas une contradiction Sylvieg. Ce qui casse l'injectivité, c'est le fait qu'il existe un ensemble A = \{0\} tel que f^{-1}(f(A)) = f^{-1}(0) = \{-\sqrt{3}, 0, +\sqrt{3}\} \neq A

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration d’une équivalence 26-10-22 à 15:19

Citation :
Soient A, une partie de E et ...
Comme vu par carpediem, ce n'est pas "pour toute partie A de E".



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