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Démonstration d'une équivalence avec Imf et Kerf
Bonjour, un exercice me pose quelques soucis. f
L(E), je dois montrer que Im=f=Imf2
Imf+Kerf=E. Je montre d'abords que Imf=Imf2
Imf+Kerf=E. Supposons que Imf=Imf2
.Imf et Kerf étant deux sous-espaces vectoriels de E la somme est également un sous espace vectoriel de E donc Imf+Kerf
E.
C'est de montrer que EImf+Kerf qui me pose problème. Soit E comme FL(E) alors f()
E, donc =f(
)
Imf (par définition) et E. Donc =f(
)+
avec f(
)
Imf et Kerf donc Imf+Kerf, donc EImf+Kerf.
Bien que rien ne me semble faux dans mon raisonnement (pour la deuxième inclusion) je n'utilise en aucun moment mon hypothèse de départ ce que me dérange un peu, ai-je fais une erreur ou ici, pas besoin d'utiliser l'hypothèse que j'ai faite au début de ma réponse. Merci d'avance, bonne journée.
Tu veux montrer que tout élément de E s'écrit comme somme d'un élément de Im(f) et d'un élément de Ker(f). Tu prends donc un élément u de E. Bien. Et est-ce que tu montres que u peut s'écrire comme somme d'un élément de Im(f) et d'un élément de Ker(f) ? Non ! Tu montres que f(u) s'écrit comme somme d'un élément de Im(f) et d'un élément de Ker(f), à savoir f(u)=f(u)+0. Finalement, tu n'as rien montré du tout, sauf que Im(f) est contenu dans Im(f)+Ker(f).
Il faut bien sûr utiliser l'hypothèse. Elle nous dit que f(u) est un élément de Im(f), donc un élément de Im(f2). Je te laisse continuer.
Merci beaucoup pour votre réponse .On a donc f()=f(f(
)), mais f n'étant pas bijective je n'arrive à rien déduire de cette égalité ( sinon on aurait
=f(
) et j'aurais pu finir la démonstration avec
=f(
)+
). L'implication dans le sens inverse me pose également quelques soucis: je suppose que Im(f)+ker(f)=E. Soit
Im(f) alors =F(
) tel que
E donc f()=f(f(
)) donc f(
)
Im(f²). Or E donc d'après l'hypothèse =
+
tel que
Im(f) et ker(f) donc f()=f(
+
) et comme f est linéaire f(
)=f(
) il faudrait que je montre que f(
)=
mais je n'arrive pas continuer, cette méthode est elle bonne ou ne marche t'elle pas (je n'en vois pas d'autre). Merci d'avance.
Restons pour le moment sur la première implication. Tu es beaucoup trop gourmand : pour quoi voudrais-tu avoir u=f(v) ? Puisque u est quelconque, ça montrerait que Im(f)=E, ce qui n'est visiblement pas vrai ! Ce que tu peux espérer montrer, c'est u=f(v)+ un élément du noyau de f. Et ça, tu ne vois pas comment faire ?
Je ne vois pas comment faire, je dois bien partir de l'égalité f()=f(f(
)? Peut être en introduisant
un élément du noyau de f on a donc f(
)+f(
)=f(f(
))+f(
) et par linéarité de f on a f(
)=f(f(
)+
) mais je ne vois toujours pas comment continué.
M'enfin ? Si on espère montrer u=f(v)+ un élément du noyau de f, ça veut dire qu'on espère montrer que u-f(v) est un élément du noyau de f, non ? Et tu ne vois pas comment montrer que u-f(v) est dans le noyau de f ?
Ah d'accord merci beaucoup, on applique f a u-f(v) et on obtient vecteur nul de E donc u-f(v) est un élément du noyau de f. Ma méthode pour la deuxième implication vous semble t'elle bonne?
Il y a de bonnes idées, mais tu t'emmêles les pinceaux et tu perds le cap en cours de route. Essaie de remettre les choses dans l'ordre en ne perdant pas de vue le but à atteindre (ce qui était un peu aussi la cause de tes embrouilles pour la première implication).
Merci pour toute votre aide. J'ai pu trouver la seconde implication, en fait il fallait exprimer v en fonction de v1Imf et v2kerf et on obtenait uImf². Bonne soirée 
.
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