Niveau Maths sup

Démonstration d'une formule trigonométrique

Posté par ClemBoss (invité) 22-08-07 à 19:25

Je vous donne d'abord l'énoncé exact de la question :

"On a $cos(x+\pi)=-cos(x)$ , et de même pour $sin$ . Justifier cette propriété avec $3$e^{i\pi}=-1$ ."

Et une indication me dit "Considérer $3$e^{ix}e^{i\pi}$ ."

Voilà, j'ai donc tourné pas mal de temps autour du produit et de l'égalité, écrits sous différentes formes, mais je ne trouve pas.

Pour info, je passe tout juste en MPSI.

Merci d'avance

Posté par re : Démonstration d'une formule trigonométrique 22-08-07 à 19:27

Bonjour

$3$\rm cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

D'où :
$3$\rm cos(x+\pi)=\frac{e^{ix}e^{i\pi}+e^{-ix}e^{-i\pi}}{2}=\frac{-e^{ix}-e^{-ix}}{2}=-cos(x)$

Posté par re : Démonstration d'une formule trigonométrique 22-08-07 à 19:28

Salut

Par définition $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Posté par ClemBoss (invité)re : Démonstration d'une formule trigonométrique 22-08-07 à 20:28

Mais, d'après l'énoncé, est-ce qu'il ne faudrait pas partir de l'égalité $2$e^{i\pi}=-1$ ?

Posté par re : Démonstration d'une formule trigonométrique 22-08-07 à 20:30

C'est ce que Jord a fait

Posté par re : Démonstration d'une formule trigonométrique 22-08-07 à 20:44

Bonjour !

D'une part :
exp[i(x+)]= cos (x+) + i sin (x+)

D'autre part :
exp[i(x+)]= exp(ix).exp(i)= (-1)(cos x + i sin x)

Comme deux nombres complexes sont égaux lorsque leur partie réelle et leur partie imaginaire sont égales ...

P.S. je continue à travailler le langage LATEX