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Démonstration d'une réciproque

Posté par
Buth 04-12-06 à 19:46

Bonsoir à tous !

Je bloque légèrement dans la résolution d'un problème de concours, je vous présente ce qui me gène.

Je viens d'établir, que pour trois réels t1,t2,t3 positifs ou nuls on a l'inégalité que j'affiche normalement en pièce jointe.

J'ai démontré cette inégalité grâce à l'inégalité de convexité appliquée à la fonction exponentielle.

Dans la suite de la question, on me demande de montrer que l'inégalité devient égalité si et seulement si les trois réels en questions sont égaux.

J'arrive à montrer le sens évident, à savoir réels égaux implique égalité, mais je bloque sur la réciproque. C'est sûrement très bête...

Merci par avance de me donner un petit coup de main. Bonne soirée à tous !

** image supprimée **

3$ t_1 \times t_2 \times t_3 \leq \frac{1}{27} \times \(t_1 + t_2 + t_3\)^3

édit Océane

Posté par
kaiser Moderateurre : Démonstration d'une réciproque 04-12-06 à 20:21

Bonsoir Buth

Je propose ceci.
Tout d'abord, le résultat est clair si l'un des 3 réels est nuls (ça implique automatiquement que les 2 autres le sont).
Supposons alors l'égalité vérifiée et montrons par exemple que \Large{t_{1}=t_{2}}.

Soit \Large{\alpha \in [-a,a]} où \Large{a=min(t_{1},t_{2})}

Alors on a l'inégalité suivante :

\Large{(t_{1}-\alpha)(t_{2}+\alpha)t_{3}\leq \frac{1}{27}(t_{1}+t_{2}+t_{2})^{3}=t_{1}t_{2}t_{3}

En développant le terme de gauche et en simplifian le tout, on a :

\Large{-\alpha^{2}t_{3}+\alpha t_{3}(t_{1}-t_{2})\leq 0}

Ainsi, on a :

\Large{-\alpha^{2}+\alpha (t_{1}-t_{2})\leq 0}

Ensuite, en distinguant le signe de \Large{\alpha} et en simplifiant par lui dans l'inégalité (en faisant attention), essaie de conclure par des passages à la limite.

Kaiser


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