Bonjour,
si gof est injective alors ...
si gof est surjective alors ...

applique ça à g=f.

Il y a plusieur choses trés bizzard dans ce que tu dit :

"pour tout fof de E" : fof n'est pas un element de E !!! c'est une fonction de E->E.
"il existe un unique f(x)" dans l'enoncé précedant tu fait un unique x comment tu passe à un unique f(x) sans savoir que f est surjective ?


Cependant je me demande s'il est nécessaire de démontrer que le f (le premier dans f(f(x)) ) est bien le même f que dans fof. en effet d'apres la démonstration générale, le f pourrait tout aussi bien s'appeler g ....>>> je comprend pas ce que tu dit.


sinon, tu peux faire comme  le dit otto ou bien directement à partir des définition :

tu veux montrer que j est une bijection :

f est injective car si f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) et f°f est injective, donc x=y : f est injective.

f est surjective car comme f°f est sujective pour tous x il exite y telle que f(f(y))=x, en particulier si on pose u=f(y), f(u)=x. f est surjective.

Bonsoir

Une variante.

Une application est bijective si et seulement si elle a un inverse à gauche et un inverse à droite (qui sont alors égaux).

Posons fof = g.
Comme g est inversible, on a Id = (fof)og^-1 = fo(fog^-1) donc f a un inverse à droite.
De même Id = g^-1o(fof) = (g^-1of)of donc f a un inverse à gauche.

Donc f est bijective.

Cordialement
Frenicle

Merci pour toutes vos réponses,
je pense avoir compris maintenant!