f est continue en aI si >0 , >0 tels que xI, |x-a|<|f(x)-f(a)|<

voila lé définition de la continuité...
reste plus qu'a faire le lien avec la def d'une fonction lipschitzienne...

Je suis d'accord mais cette définition est celle de la continuité en un point... Je ne vois pas comment l'étendre à tous.

Bonsoir.

Montrer la continuité d'une application, c'est montrer qu'elle est continue en tout point. Donc tu te fixes un point et tu dois montrer que est continue en .
Donc tu te fixes et tu dois trouver un tel que blabla ...

Si je fixe un point, je montre juste la continuité en ce point non ?

Oui, et si tu le fais en un point quelconque, c'est que c'est vrai partout ...

Ah oui d'accord, j'avais démarré comme ça mais j'étais pas sure. Je vais essayer de continuer, merci.

J'ai un nouveau problème, ça fait au moins 1h que je suis dessus je commence à en avoir marre mais veut absolument comprendre.

Après avoir montré la continuité, on parle du théorème du point fixe et la première question consiste à montrer que si x et x' sont des points fixe de f alors x=x' .

J'ai essayer de faire un raisonnement par contraposée mais j'étais bloquée, par l'absurde, j'arrive même pas à commencer et avec un raisonnement direct aussi mais je suis bloquée.

J'ai oublié de préciser qu'on a introduit une suite u(n) définie par u0 et u(n+1)=f(un)

Merci d'avance pour vos indications.

C'est un problème qui a été résolu hier sur le forum...

Si x et y sont deux points fixes, que peux-tu dire sur |f(x)-f(y)| ?

Il va surement falloir une condition sur ton lambda par contre...

Ah je n'ai pas vu, je suis nouvelle sur le forum.

Ca voudrait dire que |f(x)-f(y)| = |x-y|

Oui < 1

Ah je crois avoir trouvé, 0 et ici <1 donc =0
De plus , x et y deux points fixes donc |f(x)-f(y)| = |x-y|
et donc avec la définition on va se retrouver avec |x-y|0 donc x - y = 0 etc
C'est bien ça ?

Oui ou alors |x-y| < |x-y| en supposant x et y différent, ce qui est une contradiction.

Ah oui d'accord ce serait donc un raisonnement par l'absurde.

Je suis désolée d'encore vous demander de l'aide mais la question d'après consistait à montrer que pour tout n , |u(n+1) - u(n) | ⁿ|u(1) - u(0)|
Ce que j'ai réussi à faire
Mais pour la question d'après j'ai un petit problème :
Il faut en déduire que la suis un converge; j'ai tenté de passer |u1 - u0 | de l'autre coté ce qui majore le tout par ⁿ
Vu que c'est une valeur absolue j'ai encadré par ⁿ - 1/(u1 - u0)  et ⁿ + 1/ (u1 - u0)
Je peux utiliser encore ici  que =0 donc on a une suite bornée , la suite u(n+1) - u(n)
Mais ensuite... Je ne vois pas comment en venir à u(n)

Euh c'est loin d'être évident.

As-tu déjà entendu parler de série absolument convergente?

Bonjour,

Pas besoin de séries convergentes, juste les séries géométriques.  Si tu connais le critère de Cauchy tu majores  l u(n+p) -  u(n) l