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Niveau Maths sup
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Démonstration de la formule de Taylor Young

Posté par
azertyuipo
21-02-24 à 12:12

Bonjour, je suis en terminale mais mon DM est visiblement un sujet de prépa (DL d'ordre n).

1e question : démontrez par récurrence la formule de Taylor Young : f(x) = \sum_{p=0}^{n}{\frac{f^{(p)}(a)}{p!}(x-a)^{p}} +o(x-a)^n=0
en suivant telles et telles étapes. (Il y a bp de formules qu'il faudrait écrire en Latex, je vous prie de bien vouloir m'excuser de ne pas le faire)
J'ai réussi à tout faire, mais pas à conclure !
J'ai trouvé un corrigé sur internet (qui bien entendu suit la méthode donnée par la prof) , mais je ne comprends toujours pas la dernière étape. Je bloque après \lim_{x\to a}(\frac{F(x)-F(a)}{(x-a)^{n+1}})=0

Le corrigé en question est en pièce jointe  

Merci beaucoup par avance pour votre aide

Posté par
azertyuipo
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 12:15

(Je n'avais pas cliqué sur confirmer la pièce jointe )

Démonstration de la formule de Taylor Young

Posté par
Ulmiere
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 12:28

Il y a plein d'imprécisions dans cette preuve. Il n'est pas précisé qu'on suppose sans perte de généralité que f(a) = 0, et il manque une évaluation en a à côté de chaque f^{(p)}...

Et il y a une erreur de frappe à la ligne qui te pose question. C'est n+1 partout à la place de n

Posté par
azertyuipo
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 13:18

Bon, dans ce cas je vous envoie ce que j'ai fait, et le sujet originel, ce sera plus efficace !

Démonstration de la formule de Taylor Young

Posté par
azertyuipo
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 13:19

.

Démonstration de la formule de Taylor Young

Démonstration de la formule de Taylor Young

* Modération > Images exceptionnellement tolérées car des réponses ont déjà été faites.
Ne recommence pas azertyuipo, sinon tu seras averti ou banni. *

Posté par
Ulmiere
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 14:19

Il y a de gros problèmes avec ta rédaction. Des équivalences dans tous les sens, des x et des k qui spawnent comme des mobs, des erreurs typographiques, des justifications sur l'appartenance à C^n et la dérivabilité de F qui manquent, etc

Il n'est pas utile de donner un nom à l'hypothèse de récurrence si tu ne l'utilises pas !
Ici ce serait, à a\in I fixé

P(n) : "pour toute fonction g de classe C^n au voisinage de a, il existe r > 0 : ]a-r,a+r[\in I et pour tout x\in ]a-r,a+r[, g(x) = \sum(\cdots) + o\left((x-a)^n\right)"


et quand tu l'utilises dans la partie hérédité, il faut bien préciser que tu le fais pour g = f', qui est de classe C^n quand f est de classe C^{n+1}

Posté par
carpediem
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 14:50

salut

en terminale il peut être intéressant de commencer par faire ce pb avec a = 0, ce qui allège considérablement formules et autre expressions mathématiques ...

ensuite on peut remarquer qu'on passe du cas a = 0 au cas général par simple translation t : x --> x - a et que si g(x) = f(x - a) alors g'(x) = f'(x - a)

Posté par
azertyuipo
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 15:46

Citation :
Des equivalences dans tous les sens

C'est très possible, la prof n'est pas très rigoureuse et nous dit de globalement en mettre à chaque étape de raisonnement

Citation :
Des x et des k qui spawnent comme des mobs

La ca m'étonne beaucoup, es tu sur que ce n'est pas plutôt du à mon écriture ? Aurais tu un exemple précis ? Je suis le meilleur de ma classe en math, ça m'étonnerait que j'écrive des inepties

Citation :
Justification sur l'appartenance à C^{ n}

C´est normal, on n'a pas vu l'écriture avec le petit r. Est ce que c'est indispensable de le justifier ainsi?

Merci Carpediem pour l'excellente idée, ça allègera la démonstration.

Posté par
azertyuipo
re : Démonstration de la formule de Taylor Young 21-02-24 à 15:47

Mais au delà des inexactitudes dans ce qui est déjà écrit, comment finir la demo ?
Merci



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