Démonstration de trigonométrie

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Démonstration de trigonométrie
Posté par 
satochu  23-09-08 à 16:36
Bonjour , j'ai un problème en math sur un devoir.

je m'explique : 

si a , b , c sont les angles d'un triangle , montrez que 

cos²a+cos²b+cos²c+2.cosa.cosb.cosc=1

Bon je comence part  c= (Pi-a-b)

                cos c = cos pi - (a+b)

                cos c = -cos (a+b)

ce qui me permet de de remplacer les cos de c

==> cos²a + cos²b - cos(a+b) + 2 .cos a . cos b . [-cos (a+b)] = 1 

tout d'abord est ce que le "[-cos (a+b)]" dois se developper ainsi

[-cos (a+b)] = -(cosa.cosb-sina.sinb) ==> puis ouvrir la parenthese et ainsi changer les signes ?

ensuite j'essaye de developper

cos²a+cos²b-cos²a.cos²b-sin²a.sin²b+2.cosa.cosb.(-cos a.cosb+sina .sinb)=1

ensuite les membres souligné se supprime

<=> -sin²a.sin²b+2cosa.cosb.(-cosa.cosb+sina.sinb)= 1

et c'est ici que je bloque. a ce moment j'essaye plein de maniere differente sans succès ... je tombe toujours a " sina.sinb = 1 "

pourriez vous m'aider sur ce probleme? j'attrape un petit mal de tête

Sato et merci d'avance si vous m'aider 

ps: il parrait qu'il y a la méthode:

     a+b+c = pi

     a+b = pi-c

    cos(a+b) = -cosc

???
 Posté par 
PloufPlouf06re : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:09
Bonjour,

Je reprends à partir de :

En élevant tout au carré : .

En remplaçant tous les sin² par 1-cos² on a : .

Soit :  
 Posté par 
satochure : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:19
merci de ta réponse 

mais je cale toujour 

ou passe le -cos²b-cos²a+cos²a.cos²b ?

car on supprimse les cos²a ok

mais apres on se retrouve a  -cos²b.cos²b

ensuite je n'ai pas encore vu la formule disant que

cos²a+cos²b+cos²c+2cosa.cosb.cosc =1

il y a un développement qui nous fait tomber a 1 ?

désoler d'embeter autant mais je suis long a la détente 

(mais un grand merci quand même

sato
 Posté par 
PloufPlouf06re : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:21
Citation :
ou passe le -cos²b-cos²a+cos²a.cos²b ?
.

Il passe dans ton membre de gauche 
Regarde bien la simplification est immédiate (-cos²a.cos²b+cos²a.cos²b ).

Et donc il reste bien 1 à droite, et ce que tu voulais, à gauche 
 Posté par 
satochure : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:32
voila je viens de voir la simplification qui donne a la réponse

cos²a+cos²b+cos²c+2cosa.cosb.cosc=1

mais comment se fait-il que tout cela se transforme en 1 ?

à mon avis j'essayait de transformer toute la formule pour que la résultat final soit 1=1

ce qui m'a fait tourner en rond je me trompe ? ^-^"

sato
 Posté par 
satochure : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:41
ah voila je viens de réaliser le but de cet démo

en faites je devait juste arriver au calcul de départ 

c-a-d : cos²a+cos²b+cos²c+2cosa.cosb.cosc=1 

en commençant pas a+b+c=pi

et je devait simplement developper pour arriver a la fin c'est ça ?

Merci de ton aide tu m'as bien aider 

SUJET RESOLUS !

bonne soirée ploufplouf06 

sato 
 Posté par 
PloufPlouf06re : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:45
Citation :
mais comment se fait-il que tout cela se transforme en 1

Deux réponses possibles :

1) C'est comme ça ()

2) On vient de montrer comment simplifier cette expression. Donc si tu veux le comment du pourquoi, redémontre-le encore une fois 

Sinon je pense que tu peux réussir à transformer ta formule pour aboutir à 1, mais bien que ça montre bien la "simplification", c'est plus dur, plus long et donc généralement plus faux 

Si tu y tiens absolument ça doit être faisable, mais c'est plus simple comme j'ai fait 
J'essayerai plus tard je vais en kholle. Si tu trouves dis-le moi 
 Posté par 
PloufPlouf06re : Démonstration de trigonométrie  23-09-08 à 17:46
C'est ça 

Y a pas de quoi, bonne soirée à toi aussi 
  Posté par 
mathforeverdémo  28-01-10 à 17:34
Bonjour, j'ai une démonstration a faire pour mon cours de math, ça serai sympa si quelqu'un pourrait m'aider.

Si a, b et c sont des angles d'un triangle alors

Sin²a + sin²b + cos²c -1 = 2 sina sinb cosc

Merci.