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démonstration: dérivée de (f/g)(x)

Posté par
snowflake
03-01-18 à 02:40

Bonjour

f et g sont deux fonctions qui vont de I vers R.
J'essaie de montrer que (\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}

En utilisant la formule du taux d'accroissement:


(\frac{f}{g})' = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}}{x-x_{0}}

Cette limite devrait valoir (je crois...):

[\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} g(x) - \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} f(x)]\times (\frac{x-x_{0}}{g(x)-g(x_{0})})^2


On part donc de:

\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}}{x-x_{0}} = \frac{\frac{f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})}}{x-x_{0}} = \frac{f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})} \times \frac{1}{x-x_{0}} = \frac{f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x)}{x-x_{0}} \times \frac{1}{g(x)g(x_{0})}

Après je bloque >.< Je n'arrive pas  à me ramener à :

[\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} g(x) - \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} f(x)]\times (\frac{x-x_{0}}{g(x)-g(x_{0})})^2

Merci d'avance

Posté par
SkyMtn
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 03:11

Bonjour, tu as essayé une approche "développement limité" avec l'approximation affine ?
Cela permet de retrouver la formule facilement. Comme g est continue, on suppose qu'elle ne s'annule pas en un point x_0 , donc non nulle au voisinage de ce point.
Ainsi, on peut écrire (comme g dérivable en x_0) au voisinage de x_0 :

\dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{1}{g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0) + o(x - x_0)} = \dfrac{1}{g(x_0)} \;\frac{1}{1 + \frac{g'(x_0)}{g(x_0)}(x-x_0)+ o(x-x_0)}

En connaissant le D.L. de 1/(1+u) au voisinage de 0, on a

\frac{1}{1 + \frac{g'(x_0)}{g(x_0)}(x-x_0)+ o(x-x_0)} = 1 - \frac{g'(x_0)}{g(x_0)}(x-x_0)+ o(x-x_0)

Ainsi, on écrit un développement limité de 1/g au voisinage de x_0 :

\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{g(x_0)} - \frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}(x-x_0) + o(x-x_0)

On a alors la dérivée de 1/g qui est -g'/g², et avec la règle du produit (uv)' = u'v+v'u, tu retrouve la formule pour f/g

Posté par
WilliamM007
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 09:13

SkyMtn @ 03-01-2018 à 03:11

En connaissant le D.L. de 1/(1+u) au voisinage de 0

Encore faut-il prouver ce DL, ce qui se fait en général avec la dérivée. Donc il faut connaître la dérivée de 1/(1+u) sachant qu'on ne sait pas encore dérivée les inverses, donc il faut le faire "à la main".

Pourquoi ne pas utiliser simplement
\frac{\frac1{g(x)}-\frac1{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x)g(x_0)(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\to}-\frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2}
car g est dérivable en x0, donc \frac{g(x_0)-g(x)}{x-x_0}\underset{x\to x_0}{\to}-g'(x_0)
et g est continue en x0 donc g(x)\underset{x\to x_0}{\to}g(x_0).

Posté par
lionel52
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 10:57

Sinon avec la technique du + ou - 1 :


  \frac{f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})} \times \frac{1}{x-x_{0}} = 
 \\  \frac{f(x)(g(x_{0})-g(x)) - (f(x_{0})-f(x_0))g(x)}{g(x)g(x_{0})}  \times \frac{1}{x-x_{0}}
 \\ 
 \\

Posté par
carpediem
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 12:56

salut

pourquoi se trimbaler un /(x - x_0) et même un x_0 inutile ... quand on sait que l'alphabet compte 26 lettres ...

g(x)g(a) \left( \dfrac f g (x) - \dfrac f g (a) \right) = f(x)g(a) - f(a)g(x) = [f(x) - f(a)]g(a) - f(a)[g(x) - g(a)]

donc en divisant par (x - a)g(x)g(a) le taux de variation de f/g entre a et x est :  \\\\\\\\\dfrac { \dfrac {f(x) - f(a)} {x - a} g(a) - f(a) \dfrac {g(x) - g(a)} {x - a}} {g(x)g(a)}

et il suffit de faire tendre x vers a ...

Posté par
SkyMtn
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 13:41

WilliamM007 D'où on a besoin des dérivées pour faire un développement limité ? Les d&rivées n'assurent que l'existence de ceux-ci pour les fonctions dérivables suffisamment de fois En écrivant \frac{1}{1+u} = 1 - u + u \cdot \epsilon(u) avec \epsilon(u) = \frac{u}{1+u} \to 0 on n'a pas un DL ?

Après c'est vrai qu'on peut aussi faire les calculs via le taux d'accroissement, mais ça revient exactement au même ^^

Posté par
WilliamM007
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 14:04

SkyMtn tu as tout à fait raison. En fait, je considère, peut-être à tort, que les DL sont fournis par défaut par la série de Taylor, donc la dérivée si on veut un DL à l'ordre 1. Si la fonction n'est pas suffisamment régulière, ou qu'on ne peut pas dériver pour une raison ou pour une autre, il convient selon moi de fournir une justification comme celle que tu as fournie.

Posté par
carpediem
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 14:19

de toute façon depuis la première on sait que :

|u| < 1 => \dfrac 1 {1 + u} = \dfrac 1 {1 -(-u)} = \sum_0^{+\infty} (-u)^n

qui donne immédiatement un dl ... sans utiliser la dérivée ...

Posté par
carpediem
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 14:26

Citation :
Après c'est vrai qu'on peut aussi faire les calculs via le taux d'accroissement, mais ça revient exactement au même ^^
non ... la jonglerie est autrement plus stimulante et plaisante : tout l'art est d'écrire ce qu'on doit trouver ...

Posté par
snowflake
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 14:34

Bonjour,

Merci beaucoup beaucoup beaucoup

N'ayant pas encore vu les développements limités, est-ce qu'on peut faire ça:

(\frac{f}{g})'(x)=(f\times\frac{1}{g})'(x)

En utilisant la formule de la dérivée d'un produit - et la formule pour dériver (1/g)(x):

(f\times\frac{1}{g})'(x)= f'(x) \times \frac{1}{g(x)} + f(x) \times (\frac{1}{g(x)})'= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{{g(x)}²} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{{g(x)}²}

Posté par
snowflake
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 14:40

carpediem @ 03-01-2018 à 12:56

salut

pourquoi se trimbaler un /(x - x_0) et même un x_0 inutile ... quand on sait que l'alphabet compte 26 lettres ...

g(x)g(a) \left( \dfrac f g (x) - \dfrac f g (a) \right) = f(x)g(a) - f(a)g(x) = [f(x) - f(a)]g(a) - f(a)[g(x) - g(a)]

donc en divisant par (x - a)g(x)g(a) le taux de variation de f/g entre a et x est :  \\\\\\\\\dfrac { \dfrac {f(x) - f(a)} {x - a} g(a) - f(a) \dfrac {g(x) - g(a)} {x - a}} {g(x)g(a)}

et il suffit de faire tendre x vers a ...



Si je comprends bien, vous avez multiplié \dfrac f g (x) - \dfrac f g (a) par g(x)g(a) de sorte à ce que le dénominateur se simplifie ?

Pourquoi est-ce-que f(x)g(a) - f(a)g(x) = [f(x) - f(a)]g(a) - f(a)[g(x) - g(a) ?

Merci !

Posté par
carpediem
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 16:09

1/ \forall a \in \R  :  \forall b \in \R^*  :  a = b \times \dfrac a b donc calculer a me suffit pour calculer \dfrac a b

2/ ben parce que tu développes ... (c'est le même principe que pour le calcul de la dérivée d'un produit quand on sait ce qu'est un taux de variation ou de l'inverse d'une fonction ...


sinon on peut remarquer (dit plus haut) mais encore (un peu) d'une façon :

\dfrac f g est le produit d'une fonction f par la composée des fonctions inverses et g ...

Posté par
snowflake
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 03-01-18 à 23:18

Ah d'accord, je ne savais pas qu'il fallait développer comme dans la dérivée de produit >.<
Merci

Posté par
carpediem
re : démonstration: dérivée de (f/g)(x) 04-01-18 à 09:28

Citation :
Pourquoi est-ce-que f(x)g(a) - f(a)g(x) = [f(x) - f(a)]g(a) - f(a)[g(x) - g(a) ?

développer le membre de droite donne le membre de gauche ....

snowflake @ 03-01-2018 à 23:18

Ah d'accord, je ne savais pas qu'il fallait développer comme dans la dérivée de produit >.<
Merci

mais la question n'est pas de développer, la question est de faire apparaître des taux de variation (de f et de g) !!! pour exprimer le taux de variation de f/g à l'aide des taux de variation de f et de g et ainsi obtenir "une formule"

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