Niveau autre

Démonstration des règles d'Alembert

Posté par
frenchlife13 26-12-13 à 13:23

Bonjour

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la démonstration des règles d'Alembert :

Supposons que q ]0,1[, n n0, Un+1/Un q

Comme (Un) positive, on peut écrire :

0 Uk+1 qUk (1)

Soit en multipliant ces relations membre à membre pour k = n0 à k = n-1 et en divisant la relation obtenue par Un0+1.Un0+2 .... Un-1 > 0 , on a :

0 Un q^(n-n0)Un0 (2)

Je ne comprends pas le passage de (1) à (2) malgré les explications ...

Merci d'avance

Posté par re : Démonstration des règles d'Alembert 26-12-13 à 13:44

Salut

On suppose que $\ell < 1$ . Montrons que la suite des sommes partielles $S_N=\sum_{n=0}^N u_n$ converge. Notons $v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Tout d'abord remarquons que la suite $(S_N)$ est croissante. En effet
$\forall n \in \N, S_{N+1}-S_N=u_{N+1} > 0$
Choisissons un nombre réel $\ell_1$ tel que $\ell < \ell_1 < 1$ .
Ainsi $\exists n_0 \in \N, \forall n \ge n_0, |v_n - \ell| < \ell_1-\ell$
Ainsi $\forall n \ge n_0, u_{n+1} < \ell_1 u_n$ par positivité de u_n.
En itérant, on obtient :
$\forall n \ge n_0, u_n \le \ell_1^{n-n_0} u_{n_0}$
Ainsi
$S_N  = \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n +  \sum_{n=n_0}^N u_n$
     $\le \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n + \sum_{n=n_0}^N \ell_1^{n-n_0} u_{n_0}$
     $\le \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n + \frac{u_{n_0}}{\ell_1^{n_0}} \sum_{n=n_0}^N \ell_1^n$
     $\le \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n + \frac{u_{n_0}}{\ell_1^{n_0}} \frac{\ell_1^{n_0} - \ell_1^{n+1}}{1-\ell_1}$
     $\le \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n + \frac{u_{n_0}}{1 - \ell_1} - \frac{\ell_1^{n+1}}{\ell_1^{n_0}(1-\ell_1)} u_{n_0}$
Or $\ell_1 >0$ et $1-\ell_1>0$ donc $\frac{\ell_1^{n+1}}{\ell_1^{n_0}(1-\ell_1)} u_{n_0} > 0$ .
Ainsi
$S_N \le \sum_{n=0}^{n_0-1} u_n + \frac{u_{n_0}}{1 - \ell_1}$

La suite $(S_N)$ étant majorée et croissante, elle converge donc.

Sauf erreur...

Posté par re : Démonstration des règles d'Alembert 26-12-13 à 17:49

Bonjour

> frenchlife13 Si tu ne comprends pas le passage global de (1) à (2), prouve (2) par récurrence. Tu verras le phénomène.

Posté par re : Démonstration des règles d'Alembert 26-12-13 à 20:14

Bonjour.

La démonstration de la règle de Cauchy ou de D'Alembert revient pour le cas \ell <1 consiste à appliquer le critère de comparaison, la deuxième série étant une série géométrique de raison q avec 0<q<1.
1) Pour la régle de D'Alembert.
   $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} =\ell.$
La défintion de limite appliquée pour $\epsilon=\ell_0=\dfrac{1-\ell}{2}>0$ donne :
$\exists n_0 \text{ tel que }n\ge n_0 \Longleftrightarrow \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell\right|\le \epsilon=\dfrac{1-\ell}{2}$ d'où   $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell \le \dfrac{1-\ell}{2}$ d'où encore $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \dfrac{1-\ell}{2}+\ell=\dfrac{1+\ell}{2}=q<1$ .
On aura alors:

$u_{n_0+1} =q u_{{n_0}+1},$      $u_{n_0+2}=q^2 u_{n_0},$    $u_{n_0+3}=q^3 u_{n_0}$   et d'une manière générale: $\large u_{n} =q^{n-n_0}~ u_{n_0}$ .

En posant   $v_n=q^n v_0$ ,  on peut choisir $v_0$ tel que $u_{n_0}=v_{n_0}$ ,  on aura alors $u_n{_0}=q^{n_0}v_0$ et $u_n \le q^{n+1-n_0}~ u_{n_0}=q^{n-n_0}~ q^{n_0} v_0=v_n$   donc pour $n\ge n_0: ~u_n \le v_n$ .
Conclure par le critère de comparaison.

2) Pour la régle de Cauchy.
Démonstration analogue en partant de $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n}=\ell.$

Posté par re : Démonstration des règles d'Alembert 26-12-13 à 21:42

D'accord

Merci beaucoup

Posté par re : Démonstration des règles d'Alembert 28-12-13 à 01:57

Bonjour.

Petite erreur de codage. Lire
$\exists n_0 \text{ tel que }n\ge n_0~~ \red{\Longrightarrow}}$ $~~\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell\right|\le \epsilon=\dfrac{1-\ell}{2}$ d'où $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell \le \dfrac{1-\ell}{2}$ d'où encore $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \dfrac{1-\ell}{2}+\ell=\dfrac{1+\ell}{2}=q<1$

et non
$\exists n_0 \text{ tel que }n\ge n_0~~ \red{\Longleftrightarrow}$ $\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell\right|\le \epsilon=\dfrac{1-\ell}{2}$ d'où $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\ell \le \dfrac{1-\ell}{2}$ d'où encore $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \dfrac{1-\ell}{2}+\ell=\dfrac{1+\ell}{2}=q<1$

On a une implication pas une équivalence.

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