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démonstration dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F(inter)G)
Bonjour,
Dans le cours sur les espaces vectoriels, le prof a commencé une démonstration de : dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F
G)
mais nous devons la terminer
Voila ce qu'on a :
On suppose que FG
{0}
Soit (u1 , ..., ur) une base de FG, avec r=dim(FG)
Par le théorème de la base incomplète, on peut compléter (u1 ... ur) (qui est une famille libre de F) en (u1 ... ur, ur+1 ... up) base de F avec p=dim(F)
de même, on obtient une base de G de la forme (u1 ... ur, vr+1 ... vq) avec q=dim(G)
On doit donc démontrer que (u1 ... ur, ur+1 ... up, vr+1 ... vq) est une base de F+G
j'ai trouvé sans grandes difficultés que c'était une famille génératrice, mais il faut encore montrer que c'est une famille libre. J'ai comme indications pour démontrer ceci :
combinaison linéaire (CL) de (u1 ... up) = - CL(vr+1 ... vq) = CL(u1 ... ur)
une fois qu'on a démontré qu'il s'agit d'une base, on dit que dim(F+G) = p + q -(r+1) + 1 = p+q-r = dim(F) + dim(G) - dim(FG).
Merci de votre aide, je n'y arrive vraiment pas !
Salut,
Bon, je vais essayer de t'aider, mais comme la notation "somme" est lourde, je vais que marquer des "CL".
On commence classiquement pour montrer qu'une famille est libre.
Je considère CL(u1 ... ur, ur+1 ... up, vr+1 ... vq)=0. Je veux montrer que tous les coefficients de la CL sont nuls.
CL(u1 ... ur, ur+1 ... up, vr+1 ... vq)=0 donc CL(u1 ... ur, ur+1 ... up) + CL(vr+1 ... vq)=0 et donc :
CL(u1 ... ur, ur+1 ... up) = -CL(vr+1 ... vq)
Le 1er membre de cette égalité appartient à F, et le second membre appartient à G. Ces deux membres sont donc égaux à un élément de FG qui peut s'écrire comme ceci : CL2(u1 ... ur).
On a donc CL(u1 ... ur, ur+1 ... up) = -CL(vr+1 ... vq)=CL2(u1 ... ur).
En particulier, CL(u1 ... ur, ur+1 ... up)=CL2(u1 ... ur).
Ceci montre que les coeeficients de notre Cl en ur+1 ... up sont nuls.
Donc notre grosse CL du départ (1ère égalité) qui était égale à CL(u1 ... ur, ur+1 ... up, vr+1 ... vq) est en fait égale à CL(u1 ... ur,vr+1 ... vq), et on a supposé que cette CLtait nulle. On a donc :
CL(u1 ... ur,vr+1 ... vq)=0.
Or (u1 ... ur,vr+1 ... vq) est une base de G donc cette égalité implique que les coefficient de notre CL en u1 ... ur,vr+1 ... vq sont nuls. Finalement, tous les coeeficients de notre CL sont nuls. On a bien une base.
Après il suffit de compter le nombre de vecteurs dans la base (u1 ... ur, ur+1 ... up, vr+1 ... vq), on trouve qu'il y en a p+q-r et c'est fini 
Il y a peut être plus court.
merci beaucoup de ta réponse, ca m'a bien aidé !
juste une question :
pourrais-tu stp m'expliquer comment tu prouves que CL(u1 ... ur, ur+1 ... up) = -CL(vr+1 ... vq) est égal à un élément de FG qui s'écrit: CL2(u1 ... ur) ? c'est le seul point que je n'ai pas compris de ta démonstration.
Donc tu as compris que CL(u1 ... ur, ur+1 ... up) = -CL(vr+1 ... vq) ?
A gauche, c'est une CL d'éléments de F, donc CL(u1 ... ur, ur+1 ... up)=f
F.
Mais on a que f=-CL(vr+1 ... vq), donc f est une CL d'éléments de G ; f appartient donc à G.
f appartient donc à F
G.
Comme (u1,...ur) est une base de FG, f s'écrit comme une Cl (que je note CL2 pour distinguer de la premièe) des ui : f=CL2(u1 ... ur)
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