salut

les intervalles [bq, b(q + 1)[ ou [b(q + 1), bq[  (suivant les signes de b et q) forment une partition de Z donc l'un d'eux contient a ....

sinon étudier séparément les deux cas ::

b > 0
b < 0

Parmi tous les entiers de la forme a-bq, prendre le plus petit positif (montrer qu'il existe si nécessaire), et montrer qu'il est nécessairement < b et que c'est le seul (positif) à avoir cette propriété.

En fait j'ai divisé le problème en étudiant les 4 cas suivant les signes de a et b
Je commence par a et b positif ça ok
a positif b négatif ok
a négatif b positif ok

Par contre , si a et b sont tous deux négatifs j'obtiens :
- a = (-b) q + r    Avec q positif et 0 r - b - 1

Et la je vois pas trop quoi faire comme bidouille

Pardon, montrer qu'il est nécessairement < |b|.

si b < 0 alors -b = |b| > 0

...

Oui mais le souci c'est que je me retrouve avec a = bq - r ...

a = bq - r <==> a = b(q + 1) - b - r

et -b - r > 0

car tu n'as donc pas le bon q ....

Oui c'est bien ce que j'ai fait aussi mais le souci c'est que j'ai :

0 r - b - 1
b + 1 - r 0
1 - b - r b

Mais c'est pas le bon encadrement

Eh bien, c'est M. Bricolage, ici. Je pensais pourtant avoir tout dit...

Ben disons que pour le principe général je sais ce qu'est une division euclidienne le pb c'est la mise en forme exacte de la démonstration qu'il me manque pas les grandes lignes
Sur il n'y a rien de compliqué mais sur en pratique je viens de décortiquer les 4 cas de signes et ça bug quand a et b sont tous deux négatifs
Pour ce qui est de savoir qu'en théorie ça marche ça je suis au courant mais j'ai quand même un bug la

Il n'y a aucune raison de "décortiquer". et étant deux relatifs quelconques, il est évident qu'il existe nécessairement un relatif tel que . Donc l'ensemble des naturels de la forme est non-vide, et il admet un plus petit élément, qu'on note .

Pour montrer que , on remarque que si , alors est un naturel de la forme , ce qui contredit la minimalité de .

Et je te laisse montrer qu'il est unique...

certes oui .... mais une disjonction de cas convient aussi ...

c'est un peu plus primitif ... c'est tout ....

21h47 : c'est le bon encadrement, il manque un - à la troisième ligne

et utiliser 21h35


maintenant Bachstelze utilise le fait que tout ensemble minoré dans Z possède un minimum et conclut efficacement le pb ....

Tu vas dire que je chipote mais qu'est ce qui permet de dire que cet ensemble est non vide ?
Sinon je te remercie

Ok pour le moins carpe mais même avec le moins il me faudrait plutôt
0 - b - r - b - 1

Il suffit de prendre du signe différent de (de sorte que ), et assez grand en valeur absolue pour que .

Ah Ben ça me semble effectivement plus propre comme ça c'est ce que je voulais faire au départ pour pas faire d'étude de cas un grand merci

Par contre pour le coup le fait de ne pas réussir la démonstration dans le cas a et b tous deux négatifs me chagrine un peu
Il doit pourtant bien y avoir moyen d'avoir un reste dans les clous

et alors c'est vrai !!!!

et plus généralement

l'application q --> a - bq est affine donc varie de -oo à oo

ce qui répond au pb du minimum positif ....

Vinz62 :: mais tu l'as fait !!!!

Ben je comprend pas parce que dans une division euclidienne il faut un reste strictement plus petit que b moi j'ai une inégalité large

<= - b - 1 <==> < |b| !!!!

car -b - 1 précède -b ....

ha non damned .... mais alors c'est simplement une erreur de ce type et il faut simplement reprendre en détail les choses ....

ha mais si car -b > 0 donc ce que j'ai dit au dessus est exact ....

Attend attend

Ça part de 0r-b-1
Ensuite ça se finit en
1-b-r-b
Et j'insiste il me faudrait soit -b-1 soit une inégalité stricte
Et d'ailleurs à gauche en principe je suis aussi sensé avoir 0 et pas 1 mais bon ça c'est moins grave

si b < 0 alors 0 =< r =< -b - 1 < -b

donc   0 =< r < -b = |b|

il serait bien de savoir ranger les nombres sur une droite ....

Je pense que tu me prends pour plus bête que je ne suis
J'ai a et b négatifs , j'utilise leurs opposes pour faire la division euclidienne sur
Ça me donne
-a = -b q + r avec 0r -b - 1
Sauf que je veux une division euclidienne de a par b donc je multiplie par -1
a = b q - r

Donc a = b (q + 1) + ( - b - r)

Il me manque donc un encadrement de mon reste qui n'est plus r mais (- b - r)

Et en partant de l'encadrement de r on arrive à :
1-b - r - b

Or bien que mon reste soit positif il n'est pas strictement inférieur à la valeur absolue de b a savoir - b il y a une inégalité large

0 =< r =< -b - 1

b + 1 =< -r =< 0

1 =< -b - r =< - b

0 =< - b - 1 - r =< -b - 1

0 =< -b - 1 - r < |b|

et voila ton reste !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

car - b - 1 précède -b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ben sauf que a = b (q+ 1) + ( -b -r)
Et non a = b (q + 1) + (-b -r -1)
....

a = b(q + 1) + (-b - r - 1)  EST LA DIVISION EUCLIDIENNE DE a PAR b

sauf que ton q initial et ton r initial ne convenait pas  .... mais à partir d'eux tu as trouvé les bons ...

de la même façon que

-9 = -2  * 4 - 1 = -2 * 5 -(-2)-1 = -2 *5 + 1 est alors la division euclidienne

.....

Je suis entièrement d'accord avec l'exemple mais je pense qu'il y a un bug dans cette preuve

a et b négatifs

il existe q et r positifs tels que -a = -bq + r avec 0=< r < -b

a = bq - r = b(q + 1) - b - r


0 =< r < -b <==> b < - r =< 0 <==> 0 < -b - r =< -b

deux cas ::

si r < -b c'est fini !!

si r = -b alors a = bq - r = bq + b = b(q + 1)  (<==> a est multiple de b) = b(q + 1) + 0

et là ya encore un bug ??


il suffit simplement de poursuivre le raisonnement encore une fois .... car il y a toujours un q qui convient .... seulement faut trouver le bon ....

Lol ok chapeau l'artiste

et je dis des conneries ::

deux cas ::

si -b - r < -b c'est fini !!

si -b - r = -b alors r = 0 (==> a est multiple de b <==> a =  b(q + 1) + 0

et là ya encore un bug ??


et c'est trivialement la même chose .... donc je ne dis pas (que) des conneries

ex ::

-10 = -2 * 4 - 2 = -2 * 5

en fait r = 0 ou r = -b c'est la même chose ....

N'empêche que t'aurais pu le dire avant au lieu de m'engueuler

je fais le boulot à ta place .... tu ne vas pas tout de même me reprocher de te secouer un coup les puces ...

plus généralement (et à retenir) ::

pour tous entiers a et b non nuls il existe une infinité de couples (q, r) tels que a = bq + r

il existe un unique couple qui est la division euclidienne de a par b


tiens au fait pourrais-tu me donner tous ces couples ?

Ben je dirais bêtement {(n , a - nb) , n}

Sinon pour une preuve directe sur il faut donc dire
Soit A = {z, q , z = a - bq}
Si A est non vide il possède un plus petit élément qu'on appelle r et on obtient a = bq + r
Reste à prouver que A est non vide et rabs(b) - 1
Si r abs(b) alors a - bq - abs(b) 0 ce qui contre dit la minimalite de r

Par contre pour prouver que A est non vide faut utiliser le fait que est archimédien non ?

soit a = bq + r une division de a par b

alors toutes les divisions de a par b sont les couples (q + k, r - kb)

A contient trivialement a en prenant q = 0 donc A n'est pas vide ...

le pb apparait si a est négatif ....

mais les ensembles A_p = {nb + p, n dans Z} avec 0=< p < |b| forment une partition de Z

ce sont les classes de congruences modulo p

A_p N n'est donc jamais vide ... et l'un d'eux est A

...

Jte remercie carpediem je pense que j'ai fait le tour de la question
A vrai dire ce n'est pas tant le pb de savoir ce qu'est une division euclidienne c'était surtout de comprendre clairement comment en prouver l'existence
Il y a un tas de façons de s'y prendre finalement mais ce qui m'embêtait hier c'était de ne pas réussir une preuve correcte par étude directe des différents cas de figure
Je suis en début de L2 la et je sais que la division euclidienne se démontre de manière plus générale dans un anneau principal mais je préfère savoir en faire une preuve élémentaire avant d'aborder cette question différemment

tout à fait : il n'y a pas besoin de savoir ce qu'est un anneau ou les congruences pour résoudre ce pb

on peut le faire très rapidement comme bachstelze l'a proposé ou plus laborieusement par disjonction de cas

après étude des différents cas tu peux ensuite te rendre compte qu'il n'est pas besoin de distinguer les cas en fait et simplement le démontrer comme à 10h49 où je ne dis rien sur a et b et on peut utiliser "un langage naïf" qui suffit amplement ....

il suffit simplement de savoir ce qu'est une division et la division euclidienne ... mais souvent on est formaté par "la vraie division" euclidienne (reste compris entre 0 et diviseur) et on en oublie ce qu'est une division .... qui conduisent au classes de congruence ...

il est rare d'écrire 5 = 2 * 6 - 7
ça peut sembler étonnant de dire qu'on a fait une division et pourtant ça montre que 5 et -7 sont dans la même classe de congruence modulo 2 ....



pour en revenir à ton pb de < et =< : à nouveau il fallait distinguer les cas en se rappelant que =< <==> < ou =

l'étude du cas = permettait alors de se rendre compte que cela équivalait au fait que b divise a tout simplement ....

A vrai dire ce qui me dérange dans la preuve utilisant une partition de c'est qu'à priori pour partitionner de cette manière il faut utiliser une relation d'équivalence donc les congruences donc la division euclidienne et donc on la présuppose avant de la démontrer il me semble

il suffit simplement de connaitre ::

les divisions
la division euclidienne
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n <==> a - b est multiple de n

épictou

.....

Ben oui mais justement ici le but est de démontrer l'existence de la division euclidienne on ne peux donc pas la connaître

quand je dis "connaitre la division euclidienne" c'est connaitre sa définition (il faut bien définir cet objet")

puis du reste prouver qu'elle existe et est bien définie ...

c'est ce que je fais :: on part d'une division et on arrive à la division euclidienne ....