Bonsoir.

J'ai un exercice sur le théorème de Cantor-Bernstein que voici :
On considère deux ensembles E et F. On suppose qu'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E. Alors il existe une bijection de E dans F.

Voici le reste de l'énoncé ainsi que les questions qui me posent problème :
Soit f : E-->F et g : F-->E deux applications injectives. On souhaite montrer qu'il existe une bijection de E dans F.

1. On considère l'application :
: P(E)-->P(E) à X associe C_E(g(C_Ff(X))).
a. Montrer que est bien définie.
b. Montrer qu'il existe X₀P(E) tel que (X₀) = X₀.

On admettra ce résultat par la suite.

2. On considère l'application g' (ce n'est pas la dérivée !) définie par :
g' : C_Ff(X₀)-->C_E(X₀ à x associe g(x).
a. Montrer que g' est définie.
b. Montrer que g' est bijective.

3. On considère l'application h telle que :
h : E-->F à x associe f(x) si xX₀ ou g'^-1(x) si xC_E(X₀)
a. Montrer que h est définie.
b. Montrer que h est bijective (et en déduire le théorème).

Voilà, les questions se ressemblent toutes, j'imagine qu'il y a une méthode pour prouver la définition mais là, j'ai du mal avec les complémentaires et les applications. Je ne sais pas du tout comment m'y prendre...!

Merci par avance pour votre aide !