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Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense...

Posté par
1 Schumi 1 22-07-07 à 08:18

Bonjour à tous,

Voici l'exercice dont il est question:

Citation :


Soit \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle. On définit la suite \textrm (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} par:

\textrm v_n=\frac{u_1+u_2+...+u_n}{n}

On veut montrer que si la suite \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0, alors la suite \textrm (v_n)_{n\mathbb{N}^*} converge aussi vers 0.

a) On fixe \textrm \epsilon >0, montrer qu'il existe un rang \textrm n_0 tel que pour tout \textrm n\ge n_0, on ait:

\textrm \frac{|u_{n_0}+u_{n_0+1}+...+u_n|}{n}\le \frac{\epsilon}{2}

b) Montrer ensuite qu'il existe un rang \textrm n_1 tel que pour tout \textrm n\ge n_1, on ait:

\textrm \frac{|u_1+u_2+...+u_{n_0-1}|}{n}\le \frac{\epsilon}{2}

c) Démontrer enfin le résultat annoncé.

d) En déduire que si \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est convergente, alors \textrm (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} est convergente de même limite que \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}



Ce que j'ai fait.

a) \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} par hypothèse converge vers 0. En prenant par exemple, \textrm \epsilon'=\frac{\epsilon}{2}, on sait par définition de la convergence vers 0 qu'il existe un entier \textrm n_0 tel que pour tout \textrm n\ge n_0, \textrm |u_n|\le \epsilon '.
Ainsi l'inégalité triangulaire "généralisée" fournit:

\textrm |u_n_0+u_{n_0+1}+...+u_n|\le |u_{n_0}|+|u_{n_0+1}|+...+|u_n| \le (n-n_0+1)\epsilon' \le n\epsilon'.

D'où le résultat.


b) \textrm n_0 étant fixé, l'existence de \textrm n_1 découle directement de la propriété d'Archimède.


c) \textrm \forall n\ge max(n_0,n_1),

\textrm |v_n|\le \frac{|u_{0}+u_{2}+...+u_{n_0-1}|}{n}+\frac{|u_{n_0}+u_{n_0+1}+...+u_n|}{n}\le\epsilon.

Ce qui permet de conclure.


d) Si \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers \textrm l\in\mathbb{R} alors \textrm (u_n-l)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0.
Si on construit \textrm (w_n)_{n\in\mathbb{N}^*} la suite définie par :
\textrm w_n=\frac{(u_1-l)+(u_2-l)+...+(u_n-l)}{n} alors d'après les résultats des questions précédentes, \textrm (w_n) converge vers 0
Or, on remarque que \textrm \forall n\in\mathbb{N}^* w_n=v_n-l, ce qui achève la démonstration.


C'est bon ou pas? A mon avis, ya plein d'erreurs, donc merci de me les corriger.


Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 08:54

Oups, j'ai oublié une question dans la d):

Citation :
La reciproque est-elle vraie?


Ma réponse : non!

Contre exemple : \textrm u_n=(-1)^n


Ayoub.

Posté par
Roulianere : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 10:14

Salut,

Ca m'a l'air juste

Posté par
lyonnaisre : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 10:43

Salut 1 Schumi 1

1°) Pourquoi ne poses tu pas \textrm \epsilon'=\frac{\epsilon}{2n} au lieu de \textrm \epsilon'=\frac{\epsilon}{2}  ?

2°) Je ne connais pas la propriété d'Archimède, je vais aller me renseigner

3°) et 4°) Nikel

Posté par
lyonnaisre : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 12:26

Re

Pour voir si j'ai bien compris, tu utilises cette propriété d'Archimède :

(a,b) (IR+*)² , il existe n IN* tq n.a b

C'est ça ?

Posté par
1 Schumi 1re : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 12:52

Merci à vous deux de m'être penché sur mon problème.

Romain >> Oui, c'est bien cela.

Posté par
1 Schumi 1re : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 13:00

Romain >>

Citation :
Pourquoi ne poses tu pas \textrm\epsilon'=\frac{\epsilon}{2n} au lieu de \textrm\epsilon'=\frac{\epsilon}{2}?


Tout simplement parce que je n'y avais pas pensé.


Ayoub.

Posté par
Ksilverre : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 13:06

euh ? il ma l'air pas tres nette votre e/(2n) ^^

t'as le droit de dire qu'il exste un n0 telle que pour tous n>n0 Un < e/(2n)

ca c'est exactement écire n*Un->0.

(ou alors j'ai pas compris ce que vous vouliez dire ?? )

Posté par
1 Schumi 1re : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 13:34

On poursuit donc le problème:

Application:

Citation :


Soit \textrm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle telle que:

\textrm \large \lim_{n\to +\infty} (u_{n+1}-u_n)=\mathfrak{l}

Montrez que \textrm\large\lim_{n\to +\infty}\frac{u_n}{n}=l



La suite de termne général \textrm (u_{n+1}-u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers l. Il en est donc de même de la suite \textrm (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} définie par:

\textrm \large v_n=\frac{(u_2-u_1)+(u_3-u_2)+...+(u_{n+1}-u_n)}{n}=\frac{u_{n+1}-u_1}{n}  converge aussi vers l.

Donc \textrm \large \lim_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=l.

Je fais comment pour conclure?


Ayoub.

Posté par
Ksilverre : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 13:36



je pense qu'en remarquand que 1/n = (n+1)/n * 1/(n+1) tu devrait t'en sortir facilement ^^


sinon tu peut aussi appliquer Cesaro a Un - U(n-1)

Posté par
1 Schumi 1re : Démonstration du théorème de Cèsaro. Enfin, je pense... 22-07-07 à 13:43

Ah oui, c'est vrai, chui trop nul.

Merci Ksilver!


Ayoub.


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