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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Démonstration élements propres et endomorphismes commutes

Posté par
KMomo
03-03-23 à 21:06

Bonsoir,
Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problème :

Soit f et g deux endomorphismes d'un R-espace vectoriel E de dimension finie n, qui admettent n valeurs propres distincts.

Montrer que si f ◦ g = g ◦ f, alors f et g ont les mêmes sous-espace propres.

Mes pistes :

Je pose une base de l'espace vectoriel E et on sait que f et g ce sont des applications qui admettent une matrice dans cette base.
Je vais les noter A et B respectivement pour f et g.
On sait que f et g sont des endormophismes, par conséquent A et B sont inversibles et on peut écrire BA = A-1(AB)A

BA et AB sont alors semblables et après je démontre que deux matrices semblables ont même spéctre en posant AB = Y et BA = Z
Y = P-1ZP
det(AB-XIn) = det(Y-XIn)
=det(P-1ZP - XP-1P)
=det(P-1(Z-XIn)P)
=det(P-1)det(Z-XIn)det(P)
=det(P-1)det(P)det(Z-XIn)
=det(Z-Xin)

Y et Z ont même polynome caractéristique donc même spectre.
Mais je ne sais pas quoi faire à partir d'ici car on nous demande de montrer l'égalité des espaces propres et justement je ne vois pas comment passer à l'étape d'après.

Si quelqu'un pourrait m'aider je serais très reconnaissant!
Merci à tous et bon week-end au passage.

Posté par
verdurin
re : Démonstration élements propres et endomorphismes commutes 03-03-23 à 21:29

Bonsoir,
le point qui me semble important :

Citation :
qui admettent n valeurs propres distinctes.

Posté par
carpediem
re : Démonstration élements propres et endomorphismes commutes 03-03-23 à 22:14

salut

ouais c'est bien compliqué et

KMomo @ 03-03-2023 à 21:06

On sait que f et g sont des endormophismes, par conséquent A et B sont inversibles et on peut écrire BA = A-1(AB)A

endomorphisme ne veut pas dire isomorphisme

pour compléter la réponse de verdurin :

soit k une valeur propre de f et v un vecteur propre associé ...

Posté par
KMomo
re : Démonstration élements propres et endomorphismes commutes 04-03-23 à 09:38

Pour compléter mon raisonnement :

Si f et g admettent n valeurs valeurs propres, cela signifie que f et g sont diagonisable : on peut également le démontrer car on sait que chaque espace propre associé à chaque valeur propre est de dimension 1 au minimum donc sachant qu'il y a n valeurs propres distinctes, la somme de la dimension des espace propres est forcement égale à n donc la taille des applications f et g.

Est-ce que en admettant que f et g sont diagonisables, on peut affirmer que f◦g ou g◦f sont inversibles pour revenir à ce que j'ai fais pour montrer l'égalité des spectres ?

Et là j'ai un doute....

Pour répondre à carpediem :
Soit k une valeur propre de f et v un vecteur propre associé :
f(v) = kv
On compose par g le tout
g(f(v)) = g(kv) = kg(v)
kg(v) = f(g(v))

On remarque que g(v) est inclus dans l'espace propre de f pour la valeur propre k.
De plus, g étant diagonalisable il existe des vecteurs v tels que g(v) = tv


Les 2 espace propres (celui de f pour vap k et g pour vap t) sont de même dimension (tous égaux à 1) donc égalité du sous espace propre pour la valeur propre k pour f et t pour g.

Comment le démontrer pour toutes les valeurs propres et pas seulement pour k (pêut être revenir sur l'égalité des spectres chose que je n'ai pas su démontrer correctement ?)

En plus je ne suis pas convaincu par ce que j'ai fais car je démontre pour 2 vap différentes (?)

Posté par
carpediem
re : Démonstration élements propres et endomorphismes commutes 04-03-23 à 12:29

si les n valeurs propres sont distinctes alors les sous-espaces propres sont des droites vectorielles

ce qui permet de conclure

Posté par
carpediem
re : Démonstration élements propres et endomorphismes commutes 04-03-23 à 12:34

KMomo @ 04-03-2023 à 09:38

Pour répondre à carpediem :
Soit k une valeur propre de f et v un vecteur propre associé :
f(v) = kv
On compose par g le tout
g(f(v)) = g(kv) = kg(v)
kg(v) = f(g(v))
la dernière ligne est affirmée sans preuve

ne pas oublier que g o f = f o g donc :

d'une part g o f (v) = k g(v)

d'autre part g o f (v) = f o g (v) donc f o g (v) = kg(v)

ce qui permet de conclure que g(v) est aussi valeur propre de f pour la valeur k

et alors mon précédent post permet de conclure ... à toi de le faire correctement !



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