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Démonstration espace vectoriel

Posté par
owel 23-01-12 à 19:56

Bonjour ,

il se trouve que j'ai deux démonstrations à mon programme de khôlle que je ne retrouve pas dans mon classeur..
Je pourrais les rechercher mais il me faut des démonstrations rigoureuses.

Ce sont :
-les seuls sous-espace vectoriels de (R,+,) sont R et {0}
-l'espace vectoriel des fonctions paires et celui des fonctions impaires sont des espaces supplémentaires de l'espace des fonctions de R dans R.

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

Posté par
DHilbertre : Démonstration espace vectoriel 23-01-12 à 20:03

Soit f\in\R^{\R}. Il est alors clair que l'on a :

f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}

Je te laisse décorer le tout !

A +

Posté par
DHilbertre : Démonstration espace vectoriel 23-01-12 à 20:25

Démonstration rigoureuse du résultat : L'on désigne par \R^{\R} le \R-espace vectoriel constitué des fonction de \R dans \R. Désignons par \R_p^{\R} et \R_i^{\R} les \R-sous-espaces vectoriels de \R^{\R} constitués respectivement des fonctions paires et impaires (à vérifier !). Soit f quelconque dans \R^{\R}. Supposons que l'on ait la décomposition f=f_p+f_i, avec f_p\in\R_p^{\R} et f_i\in\R_i^{\R}. L'on a donc :

\begin{cases}f(x)=f_p(x)+f_i(x)\\f(-x)=f_p(x)-f_i(x)\end{cases}

de sorte que f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} et f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. L'unicité de la solution du système montre clairement que \R^{\R}=\R_p^{\R}\oplus\R_i^{\R}.

La réciproque est immédiate.

A +

Posté par
owelre : Démonstration espace vectoriel 23-01-12 à 20:27

Oh merci beaucoup DHilbert

Posté par
DHilbertre : Démonstration espace vectoriel 23-01-12 à 20:41

Il est clair que \R, muni des lois adéquates, est un \R-espace vectoriel de dimension 1. Tout \R-sous-espace de \R est donc de dimension nulle ou bien de dimension 1. ...

Je te laisse terminer !

A +


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