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Niveau Licence Maths 1e ann
démonstration espérance d'une loi hypergéométrique
Posté par gloubiboulga
Bonjour !
Enfin bonsoir...
Bref, j'ai un petit problème :
J'ai besoin de calculer l'espérance d'une loi hypergéométrique HG(N,n,p)...
On a bien sûr E[X]=
k*P[X=k]
Et P[X=k]=(k parmi N1)*(n-k parmi N2)/(n parmi N)
(où N=N1+N2)
Et après bah je bloque... Je bidouille les coefficients binomiaux dans tous les sens mais je tourne en rond...
Et tout ce que j'ai pu trouver sur internet c'est "le calcul est trèèèèèèèèèèèès fastidieux" sans aucune démonstration...
Help !
Merci d'avance
Bonsoir.
On peut assez facilement montrer que, si on numérote les tirages de 1 à n, la probabilité d'avoir un succès au k-ième tirage est égale à p.
La loi hypergéométrique est donc la somme de n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p.
Certes elles ne sont pas indépendantes, mais cela ne change rien au fait que l'espérance de la somme est égale à la somme des espérances.
Alors euh le problème complet consiste en ceci :
(J'aurais du le poster dès le début...)
Il y a une urne contenant N1 boules blanches et N2 boules noires.
Et X est la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches dans un tirage de n boules simultanément...
Donc moi ce que je comprends (mais apparemment ça colle pas à vos explications) c'est que k représente le nombre de boules blanches du tirage (c'est la que je n'arrive pas à faire le lien avec le fait d'avoir un succès au k-ième tirage...)
J'ai fait un mauvais choix de nom, disons le i-ième tirage.
Il est équivalent de tirer n boules simultanément ou de les tirer successivement sans remise.
La probabilité d'avoir une boule blanche au i-ème tirage ne dépend pas de i.
Bien entendu cette probabilité est calculée avant que l'on commence le tirage.
Donc en fait si je comprends bien (c'est laborieux...), pour chacun des i tirages, la probabilité d'obtenir une boule blanche correspond à un succès dans la loi Bernoulli de paramètre p.
Et donc on peut écrire E[X]=i*p*masse de Dirac en "boule blanche"
=i*p
=n*p
(avec i variant de 1 à k) ?
Bonjour,
je ne comprend pas ta réponse
Citation :
E[X]=i*p*masse de Dirac en "boule blanche"
=i*p
=n*p
E[X]=
i*p*masse de Dirac en "boule blanche"
=
i*p
=n*p
D'où vient la multiplication par i ?
Disons que, a priori, on a n expériences aléatoires et donc n v.a. X1, X2, ... Xn.
Chacune des v.a. Xi prend la valeur 1 avec la probabilité pi ou la valeur 0 avec la proba 1-pi : elle suit une loi de Bernoulli de paramètre pi et son espérance est pi.
Si on pose
Ceci est vrai quelque soit la façon dont on fait les tirages. il suffit que l'on ai un nombre fixe d'essais et deux issues possibles (0 ou 1) à chaque essais.
Dans le cas de la loi hypergéométrique on fait n tirages sans remise dans une urne contenant Np boules blanches et N(1-p) boules noires. Xi vaut 1 si la i-ième boule tirée est blanche, 0 si elle est noire. Et X=
Xi suit une loi hypergéométrique(N,n,p).
Dans ce cas on démontre que pi=p quelque soit i d'où
Pour démontrer que pi=p, il suffit de vérifier que la proba d'avoir une boule donné au i-ième tirage est constante et égale à1/N.
Ce qui est assez simple :
-- pour le premier tirage c'est évident
-- pour le deuxième cette proba est
-- pour le i-ième
En fait le but de l'exercice était d'utiliser d'abord une méthode purement calculatoire avec identité de Vandermonde etc puis de trouver une formule moins calculatoire comme votre dernière réponse (en utilisant le fait que X=
Xi).
Bonsoir, je cherche à démontrer l'espérance de la loi hypergéometrique mais je ne comprends pas pourquoi pi est constant.
Je ne vois pas le rapport entre ce que tu démontres et ce qu'on veut démontrer.
Citation :
Pour démontrer que pi=p, il suffit de vérifier que la proba d'avoir une boule donné au i-ième tirage est constante
Pour démontrer que pi=p, il suffit de vérifier que la proba d'avoir une boule donné au i-ième tirage est constante