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démonstration factorisation

Posté par Newgatee 06-04-21 à 10:17

Bonjour, on veut montrer par récurrence que, n *, z^{n}-a^{n}=(z-a)Q(z), avec Q polynôme et deg Q =n -1


  INITIALISATION:

Pour n=1, on a : z-a=(z-a)*1 donc Q(z)=1 et deg Q=n-1=0
donc la proposition est initialisé.

  HEREDITE: On suppose que Pn soit vraie, montrons que Pn+1 est vraie.

z^{n}-a^{n}=(z-a)Q(z), deg Q=n-1 (HR).
D'après (HR), on a: z^{n}=(z-a)Q(z)+a^n


z^{n+1}-a^{n+1}=z[(z-a)Q(z)+a^n]-a^{n+1}
\Leftrightarrow z^{n+1}-a^{n+1}=z(z-a)Q(z)+a^nz-a^{n+1}
\Leftrightarrow z^{n+1}-a^{n+1}=z(z-a)Q(z)+a^n(z-a)
\Leftrightarrow z^{n+1}-a^{n+1}=(z-a)(zQ(z)+a^n)

Voilà après je suis coincé, je sais qu'on arrive presque au bout...
Ensuite je pense qu'on devrait transformé Q(z), pour avoir degR=n...


Merci, pouvez vous m'aider svp ?

Posté par
malou Webmasterre : démonstration factorisation 06-04-21 à 10:20

Bonjour
ben tu y es là....
regarde le degré de (zQ(z)+a^n)

Posté par Newgateere : démonstration factorisation 06-04-21 à 13:18

Ah oui le degré c'est n, merci

Posté par
malou Webmasterre : démonstration factorisation 06-04-21 à 13:28

de rien, je n'ai rien fait


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