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demonstration formule de Cardan

Posté par
tino46 14-10-12 à 09:38

Bonjour a tous,
Je dois démontrer la formule de Cardan qui est attachée dans le cas x^3=px+q

J'ai eu un exercice avant cette question avec x^3=3x+14
et j'ai un systeme que voici : u^3+v^3=14
                                             uv=1

Merci de bien vouloir m'aider

demonstration formule de Cardan

Posté par
DHilbertre : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 10:19

Un axe à suivre sans rigueur : Posons f(x)=x^3-p\,x-q et x=u+v. Ainsi a-t-on f(u+v)=\cdots=u^3+v^3+(u+v)\,(3\,u\,v-p)-q. Imposant 3\,u\,v-p=0, i.e. u\,v=\frac{p}{3}, alors f(u+v)=u^3+v^3-q. Tout revient (sic) à résoudre le système \begin{cases}u^3+v^3=q\\u\,v=\frac{p}{3}\\\end{cases}, équivalent au système \begin{cases}S=u^3+v^3=q\\P=u^3\,v^3=\frac{p^3}{27}\\\end{cases}. L'on constate donc que u^3 et v^3 sont solutions de l'équation 0=x^2-S\,x+P=x^2-2\times\left(\frac{q}{2}\right)\,x+\frac{p^3}{27}, avec \Delta'=\left(\frac{q}{2}\right)^2-\frac{p^3}{27}=\cdots.

A +

Posté par
tino46re : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 10:25

merci beaucoup, je comprends comme obtenir la racine cubique mais pas la 2e racine

Posté par
DHilbertre : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 11:14

Un axe à suivre sans rigueur : Posons f(x)=x^3-p\,x-q et x=u+v. Ainsi a-t-on f(u+v)=\cdots=u^3+v^3+(u+v)\,(3\,u\,v-p)-q. Imposant 3\,u\,v-p=0, i.e. u\,v=\frac{p}{3}, alors f(u+v)=u^3+v^3-q. Tout revient (sic) à résoudre le système \begin{cases}u^3+v^3=q\\u\,v=\frac{p}{3}\\\end{cases}, équivalent dans \R au système \begin{cases}S=u^3+v^3=q\\P=u^3\,v^3=\frac{p^3}{27}\\\end{cases}. L'on constate donc que u^3 et v^3 sont solutions de l'équation 0=x^2-S\,x+P=x^2-2\times\left(\frac{q}{2}\right)\,x+\frac{p^3}{27}, avec \Delta'=\left(\frac{q}{2}\right)^2-\frac{p^3}{27}. Supposant \Delta'>0 (à préciser en fonction de ton énoncé !), l'on trouve u^3=\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} et v^3=\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}, voire u^3=\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} et v^3=\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}, de sorte qu'au final x=u+v=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}.

A +

Posté par
tino46re : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 11:24

ha oui ! Merci. Je vais le travailler. Merci beaucoup !

Posté par
tino46re : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 11:34

je viens de le refaire et je ne comprend pas comment vous obtenez le u^3+v^3+(u+v)(3uv-p)-q
Car j'obtiens u^3+v^3-p(u+v)-q

Posté par
DHilbertre : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 11:39

Voyons ... (u+v)^3=(u+v)\,(u+v)^2=\cdots

Vois-tu ?

A +

Posté par
tino46re : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 11:54

oui je vois mieux merci. Et j'ai une derniere petite question. comment savez vous que S=-2(q/2)

Posté par
DHilbertre : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 12:02

Je ne le sais pas, mais je me suis arrangé pour écrire les choses de la sorte en fonction de la réponse à donner. Cependant, en considérant l'équation x^2-q\,x+\frac{p^3}{27}=, tu peux aussi remarquer que \Delta=q^2-\left(4\times\frac{p^3}{27}\right)=4\times\left(\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}\right). Tu vas retomber sur les solutions tant attendues !!

A +

Posté par
tino46re : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 12:04

Meric beaucoup pour votre aide !:D

Posté par
DHilbertre : demonstration formule de Cardan 14-10-12 à 12:08

De rien !

Bonne journée


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