J'ai oublié de préciser que A est une matrice de format p*n avec p>n

Salut

A^T c'est quoi ?

Ah oui pardon c'est assez peu utilisé, c'est la transposée de la matrice A

Ok. Alors procède par double inclusion.

perso j'utilise ^tA

Bonsoir

Pour tout vecteur X de IRⁿ et tout vecteur Y de IR^p, le produit scalaire, dans IRⁿ ou dans IR^p, noté ( U | V ) = ^tU.V donne :

( ^tA.X | Y ) = ^t(^tA.X).Y = ^tX.A.Y = ( X | AY )

X Ker(^tA)
^tA.X = 0
Y IR^p, ( ^tA.X | Y ) = 0
Y IR^p, ( X | AY ) = 0
Y décrivant IR^p, AY décrit Im(A).
Donc, Y IR^p, ( X | AY ) = 0 X (Im(A))

Donc : Ker(^tA) (Im(A))

Mais dim( Ker(^tA)) = n - Rg(^tA) = n - Rg(A)
et dim((Im(A))) = n - dim(Im(A)) = n - Rg(A)

Donc : Ker(^tA) = (Im(A))

Un minimum de dualité :
Soient E et F des K-ev  et f L(E,F) .
Si v F* on définit f*(v) : E K par f*(v)(x) = v(f(x)) . f* L(F*,E*) .

Ker(f*) = { v F* | x E on a :v(f(x)) = 0 } = { v F* | y Im(f) : v(y) = 0 } .
Si on pose pour toute partie B de F , B° = {v F* | y B  : v(y) = 0 } on a donc la relation : Ker(f*) =  (Im(f)° .

Reste à voir ce que ça donne en dimension finie , où on peut parler de matrices :
Soient E et F des K-ev de dimensions finies n et p respectivement et A M_p,n(K) . On prend une base a = (a₁,....,a_p) de E et une base b = (b₁,....,b_n) de F et on considère f L(E,F) dont A est la matrice par rapport aux bases a et b .
^tA est la matrice de f* par rapport aux bases duales b* de F* et a* de E*.
Ce que tu appelles Ker(A^T) et (Im(A)) sont respactivement Ker(f*) et (Im(f)° .  

J'ai essayé de le faire moi-même en ne regardant que le début de votre réponse raymond, j'étais parti sur la double inclusion mais en s'appuyant sur les dimensions c'est encore plus simple


Merci à vous, bonne soirée!

Bonne soirée