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Démonstration limite de 1+1/2+1/3+...+1/n
Bonjour/Bonsoir à tous ! 
Etant un élève en TS qui m'intéresse de près au niveau prépa en math, je me suis intéressé à un problème que le professeur nous a donné en question bonus dans un DM, cependant après de multiples recherches sur le net, j'ai trouvé la solution, mais certaines étapes des démonstrations ne sont pas très claires...
Je vous pose le problème :
Soit Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = 
1/k
Montrer que Sn tend vers l'infini.
J'ai vu que cette suite était croissante, mais pour démontrer qu'elle tend vers l'infini, on doit utiliser les critères de Cauchy (et non la règle de Cauchy) et on trouve S2n - Sn 
1/2 ce qui prouve qu'elle diverge et tend donc à l'infini !
Cependant, après avoir vu le théorème de Cauchy, je dois avouer que je n'ai pas compris grand chose, de plus le calcul est assez flou.
C'est pourquoi j'aimerais beaucoup que vous m'aidiez à comprendre le théorème ainsi que la démonstration du calcul !
Merci !
salut
il ne me semble pas ou peu important ni opportun de comprendre pour l'instant le critère de Cauchy ....
par contre ::
1/ as-tu compris la démonstration prouvant que S2n - Sn 1/2 ?
2/ as-tu compris la démonstration prouvant la divergence de cette suite ?
3/ sais-tu faire ces deux démonstrations tout(e) seul(e) ?
1/ as-tu compris la démonstration prouvant que S2n - Sn 1/2 ?
2/ as-tu compris la démonstration prouvant la divergence de cette suite ?
Salut !
J'ai compris pourquoi la suite diverge à l'aide du résultat, mais je n'ai pas compris la démonstartion S2n - Sn
1/2S2n - Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n + ... + 1/2n - (1 + 1/2 + ... + 1/n) = 1/n+1 + 1/n+2 + ... 1/2n
Là, évidemment, je comprends...
Mais après, je n'arrive pas à comprendre l'inégalité :
1/n+1 + 1/n+2 + ... 1/2n n.1/2n = 1/2
Merci
1/ combien y a-t-il de termes ?
2/ par quoi peux-tu tous les minorer ?
3/ conclusion ?
1 / Il y a n termes
2/ 1/2n est le terme le plus petit donc on peut minorer les termes par 1/2n
3/ 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
n.1/2n = 1/2
Si Sn converge, alors S2n aussi, or S2n - Sn
1/2
On en déduit que la suite n'est pas convergente mais diverge, de plus comme Sn est croissante, alors Sn tend vers l'infini !
Merci beaucoup, j'ai enfin compris comment minorer cette suite ! :p
PS : J'espère que je ne me suis pas tromper dans le raisonnement !
Si Sn converge, alors S2n aussi, or S2n - Sn
1/2
sans intéret, voire même inutile !!
On en déduit que la suite n'est pas convergente mais diverge, de plus comme Sn est croissante, alors Sn tend vers l'infini !
mal rédigé ::
....
donc
S(2n) >= S(n) + 1/2
par comparaison/analogie avec la suite arithmétique de raison 1/2 on en déduit que la suite S diverge vers l'infini ...
Merci beaucoup pour ces précisions ! Je crois que je vais m'arrêter là et me contenter de rédiger quelque chose de propre !
PS : Si quelqu'un est assez fou pour m'expliquer les critères de Cauchy, je suis preneur !
ton message de 19h51 est presque correct, si tu avais dit "si Sn converge alors S2n converge vers la MEME LIMITE , donc S2n -Sn >= 1/2 n'est pas possible"
Pour le critère de Cauchy qu'on peut voir en première année de fac (je savais pas que les math spé avait tant baissés) , disons que c'est lié à la (une) construction des réels. Bref l'existence même de l'ensemble R (avec ses propriétés) revient à dire qu'une suite converge ssi elle est de Cauchy.
Comme au lycée on a une vision de R très intuitive c'est pas facile à saisir.
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