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Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe

Posté par
solsha 12-01-15 à 21:26

Bonsoir,

Je dois démontrer que le module de l'inverse d'un nombre complexe est égal à l'inverse du module d'un nombre complexe, autrement dit que :

\left | \frac{1}{z} \right |=\frac{1}{\left | z \right |} z0

Voici ce que j'ai fait :

\left | \frac{1}{z} \right |= \sqrt{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\left | z\right |}

Cependant je ne suis pas sûre que ma démonstration soit très complète, pourriez vous m'aider à la compléter si nécessaire, m'aider à la corriger ?

D'avance merci !

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:32

Bonsoir

Attention : \sqrt{x^2+y^2} \neq x+y

As-tu vu que le module d'un produit est le produit des modules (|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot|z_2|) ?

Posté par
jeveuxbientaiderre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:32

Bonjour

Tu as dû apprendre au collège que généralement (a+b) est différent de a  b  (sauf quand a ou b sont nuls !!!!)  

Posté par
jeveuxbientaiderre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:33

Tu as dû apprendre au collège que généralement (a+b) est différent de a + b  (sauf quand a ou b sont nuls !!!!)  

Posté par
Priamre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:34

(x² + y²)  n'est pas égal à  x + y  !

Posté par
jeveuxbientaiderre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:37

Au moins 3 réponses qui disent la même chose !   Bonsoir à tous !

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:38

Oui Jalex, mais comment utiliser le produit des modules ici ??

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:39

j'étais le premier Bonsoir tout le monde !

Allô, allô Solsha, tu es là ?

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:39

pardon...

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:39

On avait remarqué merci Je viens de voir le module et j'ai confondu avec module de x² + y² qui est égal à x+y.

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:40

alors tu appliques la formule que je t'ai rappelée avec z_1=z et z_2 = \frac{1}{z}.
Que trouve-t-on ?

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:40

Je suis bien là

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:43

alors prends z_1 = z et z_2 = \frac{1}{z} dans la formule que je t'ai remémorée.

Posté par
jeveuxbientaiderre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:44

Oh lalalalalalalalalala !!!    !!!!!  de pire en pire !!!!

[quotej'ai confondu avec module de x² + y² qui est égal à x+y.]

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:46

Jalex, je trouve x-y

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:48

"jeveuxbientaider" ... vous êtes sûr d'avoir bien choisi votre pseudo ? alalala

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:49

nan, mais tu as vu que \left|z\cdot\frac{1}{z}\right| = |z|\cdot\left|\frac{1}{z}\right|, non ?

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:50

...parce que le module d'un produit c'est le produit des modules

Posté par
jeveuxbientaiderre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:52

Je décroche avant de m'énerver pour rien !

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:53

ouais, faut ménager ton coeur ^^

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:58

Solsha, tu as vu mon message (et ma question) de 21:49 ?

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 21:59

On est sur un forum d'entraide, yolo !

Ok mais je ne vois pas tellement où vous voulez en venir avec ce produit.

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:00

que vaut z\cdot \frac{1}{z} et que vaut son module ?

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:01

J'ai découvert le cours aujourd'hui ce n'est pas encore très clair dans ma tête soyez un peu tolérant svp ...

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:02

Je vous ai déjà donné mon résultat pour le module

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:05

Bon... donc on a |z|\cdot\left|\frac{1}{z}\right| = \left|z\cdot\frac{1}{z}\right| = |1| = 1, donc |z|\cdot\left|\frac{1}{z}\right| = 1 et en divisant par |z| (qui est nul si z est non nul), on trouve \left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:06

parce que z\cdot \frac{1}{z} vaut 1 et que le module de 1 vaut 1

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:10

ca marche ?

Posté par
solshare : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:10

ça marche ! merci beaucoup

Posté par
Jalexre : Démonstration : Module de l'inverse d'un nombre complexe 12-01-15 à 22:11


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