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Niveau quatrième
Démonstration niveau "lycée"...
Posté par Pop-Corn
Bonjour!
Nous avons un théorème à démontrer, en DM.
Nous devons démontrer que: aire-du-triangle = a*b*c/4*rayon-du-cercle.
En autres termes A = abc/4R.
Pouvez-vous me donner une piste, car je n'ai vraiment aucune idée comment je pourrais procéder pour démontrer ça. J'ai beau chercher mais...!
En plus, notre prof nous a dit que:
Citation :
Je suis sûr que si je donnais ce DM à faire pour des lycéens, ils ne réussiront pas à le faire!
Je suis sûr que si je donnais ce DM à faire pour des lycéens, ils ne réussiront pas à le faire!
... hé, on est qu'en quatrième xD
Merci de m'aider!
Pop-corn
(voici la figure donnée)
commence avec un triangle rectangle ayant pour hypoténuse le diametre du cercle; ensuite tout te paraitra plus clair
- Soit O le centre du cercle circonscrit.
O est le point de concours des médiatrices du triangle ABC.
d'après la relation dans un triangle rectangle :
dans OAB : c/2 = R sinC
Aire(ABC)
= 1/2 * a * ha
------------ d'après la relation dans un triangle rectangle :
------------ ha = b * sin(C)
= 1/2 * a * b * sin(C)
= 1/2 * a * b * c/2R
= abc / 4R
Bonjour.
Il faut démontrer cela pour tout triangle.
Dans tout triangle, même avec un angle obtus ou droit, au moins une hauteur passe par le côté opposé.
Soient le triangle ABC, le cercle de centre O passant par A, B, et C, H le pied de la hauteur du triangle issue de A, H étant à l'intérieur de [BC], D l'extrémité du diamètre commençant en A. On choisit les places de B et de C telles que [AD] coupe le segment [HC]
Les angles inscrits ABH et ADC sont égaux car ils interceptent le même arc (AC). Par aileurs l'angle ACD est droit car il enferme le diamètre [AD].
sin(ABH) = AH/AB; sin(ADC) = AC/AD
les deux sinus sont égaux : AH/AB = AC/AD
produit en croix : AB*AC = AD*AH
en multipliant par BC : AB*AC*BC = AD*AH*BC
or aire du triangle ABC = AH*BC/2; donc AH*BC + 2-aire; AD = diamètre = 2*rayon
AB*AC*BC = 2*rayon * 2*aire = 4*rayon*aire
même avec la démo de plumemeteore
on a toujours l'utilisation de 2 sinus...
Sans sinus, je vois pas comment on peut faire.
Bonjour Pop Corn et Pgeod.
Deux triangles sont semblables quand ils ont deux angles égaux chacun à chacun.
Malheureusement, les triangles semblables ont disparu des programmes.
en effet, bien vu plumemeteore.
ABH et ADC semblables et on a le rapport des longueurs : AH/AB = AC/AD
et tout ça sans sinus.
Merci pour toutes vos réponses.
Je vais récapituler tout ça et vous proposer l'ensemble.
Merci encore de m'avoir éclairée! :p
Seulement, je ne comprend pas l'utilité de D.
Faire l'égalité AH/AB = AC/AH est correct?
Si non, où place-t-on D? Au centre de [CH)?
Up, s'il vous plaît.
C'est sympa de me donner les réponses mais puisque je ne les ai pas comprises, j'aimerais quelques explications. Je ne veux pas recracher ça sur ma copie en n'ayant pas compris la totalité.
Des explications? 
Merci!
Pop-Corn
Si non, où place-t-on D?
voir réponse de plumemeteore --> Posté le 29-01-12 à 21:08
le cercle de centre O passant par A, B, et C,......, D l'extrémité du diamètre commençant en A. --> [AD] diamètre du cercle.