J'ai souvent vu des propositions de ce genre, mais rarement des découvertes passionnantes.
Quels sont les plus grands nombres que tu as testés. As-tu testé des nombres de l'ordre de 100 000 000 000 ?

Tu as testé une cinquantaine de nombres ; peux tu préciser ?
Tu as testé plein de nombres, il y a une cinquantaine de cas où le calcul donnait 6, et dans ces 50 cas, le nombre final était premier.
Ou bien, tu as testé une cinquantaine de nombres en tout, et il y en a 5 ou 6 pour lesquels le calcul donnait 6, et un nombre premier au final.

Bonjour,

J'ai testé des nombres de l'ordre de 10^5. Je n'ai pas de script à portée de main pour automatiser ma tâche, c'est donc pénible mais je vais essayer de tester des nombres encore plus grands.

Sinon oui, il y a une cinquantaine de cas où le calcul donnait 6 et dans ces 50 cas le nombre final était premier.

J'espère que j'ai répondu à tes interrogations.

Je viens donner des nouvelles. J'ai obtenu l'aide de quelqu'un pour tester grâce à un script ma conjecture, elle a été testée pour des entiers entre 1 et 2^19 et on trouve uniquement deux contre-exemples, pour a=6001 et a=332861. Dans les deux cas le nombre final obtenu finit par un 5.

C'est quand même étrange comme formule, on obtient quasiment que des nombres premiers.

Mais sujet résolu, sauf si vous souhaitez expliquer de manière arithmétique ce résultat étonnant.

On obtient pratiquement que des nombres premiers, parce que tu as trituré la formule autant que possible pour obtenir pratiquement que des nombres premiers.

On prend un nombre a.  On fait un certain calcul, et on se limite aux cas où le résultat donne 6. Pourquoi 6 ? parce que c'est celui qui marche le mieux.
Quand a finit par 9, ça marche mal ... hop, on enlève ces cas là, on enlève aussi quand a finit par 3 ou 5, pour la même raison. Forcément, à force de triturer les données, on arrive à quelque chose.

Quoiqu'il en soit, il y a un résultat caché dans cette formule.

Quand a finit par 7, et quand le calcul donne 6, soit le résultat est premier, soit il est de la forme 30k+17
Et quand a fini par 1, et quand le calcul donne 6, soit le résultat est premier, soit il est de la forme 30k+11

Au moins sur les nombres que j'ai testés.  Et d'où vient le 30 ... c'est le produit des 3 premiers nombres premiers.
Modulo 2x3x5x7, il semble aussi y avoir des tendances, mais moins claires, forcément.

En effet.
Le fait que dans les deux contre-exemples le résultat final finisse par 5 me fait penser que ce serait un cas à part.

Si a finit par 1 et que le calcul donne 6, soit le résultat finit par 5 soit il est premier (et s'il est premier le résultat finit par 3).

Mais ça reste à vérifier.

Bonjour,

Je reviens sur cette conjecture car après réflexion les seuls cas qui ne sont pas des nombres premiers semblent être des nombres finissant par 5. Si on note R ces nombres finissant par 5, j'ai constaté que tendait vers 5.

Bonjour,

Finalement la démonstration était élémentaire, et on obtient bien uniquement des nombres premiers quand le reste vaut 6 mais c'est purement explicable de manière arithmétique.

Si on suppose premier on a . Donc en réinjectant dans la formule on a :

Comme est premier on a
En réinjectant dans la formule on obtient :

Et là quand est premier on a

D'où le fait que

Ainsi si est premier et que est premier aussi alors le reste vaudra 6. Mais la réciproque n'est pas vraie, si le reste vaut 6 alors cela ne veut pas dire que est premier.