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Niveau terminale
Démonstration par récurrence.
Posté par matheux14
Bonjour ,
Merci d'avance. 
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 3 divise 52n-22n.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 6 divise n³+5n.
Réponses
1) Soit An= 52n-22n
P(n) : << 3|52n-22n>> .
*A0=50-20
A0=1-1
A0=0
Donc 3 | A0
* Soit , supposons que Ak est divisible par 7 ou pas.
Ak+1= 52(k+1)-22(k+1)
= 52k+2-22k+2
=5²×52k-4×22k
=25(52k-22k)+25×22k-4×22k
=25 Ak+21×22k
Or 3 | Ak et on a 7 | 21
==> 7 | 25 Ak+21 ×22k
==> 7 | Ak+1
Donc Ak vraie ==> Ak+1 vraie.
D'où P(n) est vraie.
2) Soit Bn=n³+5n
P'(n) : << 6 | n³+5n >> ; .
* B0= 0³+5×0
B0=0 , donc 6 | B0
* Soit , supposons que Bk est divisible par 7 ou pas.
Bk+1= (k+1)³+5(k+1)
=k³+3k²+3k+1+5k+5
=k³+5k+3k²+3k+6
=Bn+3(k²+k)+6
=Bn+3(k²+k+2)
Je vois que 6 | Bn , mais 6 ne divise pas 3 ..
Comment faire ?
Bonjour,
Pour 1), tu as fait des copié-collé de l'autre sujet avec 7, alors qu'ici c'est 3.
1) Soit An= 52n-22n
Pour , soit P(n) : << 3|52n-22n>>
*A0=50-20 = 1-1 = 0
Donc 3 | A0
* Soit , supposons que Ak est divisible par 3 ou pas.
Ak+1 = 52(k+1)-22(k+1) = 52k+2-22k+2 = 5²×52k-4×22k
Ak+1 = 25(52k-22k)+25×22k-4×22k = 25 Ak+21×22k
Or 3 | Ak et on a 3 | 21
Donc 3 | 25 Ak+21 ×22k
Donc 3 | Ak+1
Donc Ak vraie ==> Ak+1 vraie.
D'où P(n) est vraie pour tout n de 
larrech @ 13-12-2020 à 08:34
Bonjour,
Tu as regardé quelle pouvait être la parité de k(k+1) ?
Bonjour,
Tu as regardé quelle pouvait être la parité de k(k+1) ?
Je ne comprends pas
-k((-k)+1)= k²-k = k(k-1)
Donc k(k+1) n'est ni pair ni impair.
Comment ça peut me servir ici ?
En attendant que Sylvieg ou larrech reviennent.
k(k+1) c'est le produit de deux nombres consécutifs donc soit k soit k+1 est pair et k(k+1) est donc toujours divisible par 2.
Réfléchis à quoi ça peut servir.
Citation :
Si k est pair , alors 6 divise k(k+1)
Si k est pair , alors 6 divise k(k+1)
exemple k = 4 et 6 ne divise pas 20
non tu en étais à réfléchir sur le fait que 3(k²+k)+6 était divisible par 6
si k²+k est pair il s'écrit 2p et ça donne 6(p+1) divisible par 6.
normalement tu devrais comprendre que ça boucle ta récurrence.
tu as montré que Bk+1=Bk + 3(k²+k)+6 et on vient de montrer que 3(k²+k)+6 était divisible par 6. Ton hypothèse de récurrence étant que Bk l'est, tu en conclus que Bk+1 l'est aussi ce qui démontre l'hérédité de la proposition.
Citation :
on vient de montrer que 3(k²+k)+6 était divisible par 6
on vient de montrer que 3(k²+k)+6 était divisible par 6
Ah bon ?
Çà alors , j'ai pas vu à quel moment on l'a fait
mon post de 14:06 :
- dans k(k+1) il y a forcement un nombre pair dans le produit donc k(k+1) est pair aussi
- si k²+k est pair il s'écrit 2p et donc 3(k²+k)+6 = 6(p+1) divisible par 6.
k et k+1 sont des nombres consécutifs.
si k est pair alors k est impair
si k est impair alors k+1 est pair
au total il y en forcement un des deux qui est pair.
Prends des exemples : 3 et 4 ; 6 et 7 ; .... il y en a toujours un qui est pair sur les deux.
OK.
Citation :
- si k²+k est pair il s'écrit 2p et donc 3(k²+k)+6 = 6(p+1) divisible par 6.
- si k²+k est pair il s'écrit 2p et donc 3(k²+k)+6 = 6(p+1) divisible par 6.
D'où sort ''p'' ?
un petit effort ! Tout entier pair peut s'écrire 2p. (tout entier pair est divisible par 2)
c'est juste pour mieux visualiser que le résultat est bien un multiplie de 6.