Bonsoir

voilà un exercice très original

les régions sont les ensembles dont les droites forment les frontières. Dit autrement, deux points sontd'une même région si il existe un chemin reliant ces deux points qui ne coupe aucune des n droites

raisonner par récurrence me semble adéquat

D'accord.

Petite question : les n droites doivent être parallèles?

_ Soit la proposition P_k : " k droites du plan déterminent k(k+1)/2 + 1 régions" .

_ pour n=0 , 0 droite du plan détrrmine 1 (une) région => P₀ est vrai

_ Supposons que P_k est vraie pour tout entier naturel k et démontrons que P_k+1 eat vraie .

Je ne sais pas comment procéder .

ce n'est pas précisé, et si les n droites sont toutes parallèles, il est évident qu'il y a au plus n+1 régions et l'exercice n'est pas intéressant

je préfère commencer à n=1 pour la récurrence. L'exercice n'est pas très rigoureux de base pour un exercice de terminale, vu l'originalité de l'énoncé, donc si on peut éviter le cas n=0 que je considère "dégénéré" (vu qu'il n'y a pas de droite) et directement montrer un cas concret, c'est pas plus mal

Venons-en à la partie délicate : l'hérédité

avant tout, remarque qu'on te demande de montrer que pour n droites, il y a au plus   régions

Si tu as déjà n droites tracées, et que tu en traces une de plus, qu'est-ce qui détermine le nombre de régions ajoutées par cette nouvelle droite ?

Essaie de le faire avec une, deux, trois droites, pour te donner une idée

Si je trace une droite , je remarque qu'elle détrrmine au plus 2 régions.

Si j'en trace une de plus , ces droites  déterminent 4 région

Si j'en trace une troisième , elles déterminer au plus 7 regions.

Je ne vois pas ce qui détermine le nombre de régions ajoutés par la nouvelle droite.

Sinon je penses que si n droites déterminent 1+(1+2-+...+n) régions alors n+1 droites en déterminent 1+(1+2+...+n+ n+1).

1+(1+...+n) est le nombre maximum de régions, pas le nombre exact

Prends n+1 droites quelconques. Si tu en retires une, il reste n droites, donc par hypothèse de récurrence, il y a au plus 1+(1+...+n) régions

En rajoutant la droite que tu as retirée, cette droite va couper un certain nombre de droites parmi les n déjà présentes
Vois-tu le lien entre le nombre de nouvelles régions délimitées par cette droite, et le nombre de fois qu'elle coupe une des n droites déjà présente ?

Non je ne vois toujours pas le lien.

je t'ai fait un schéma
ici, on a 3 droites (D1, D2, D3) qui délimitent 7 régions (R1,...,R7)

je viens placer une 4ème droite, D4, qui coupe D2 et D3 mais qui est parallèle à D1
En ajoutant cette droite, certaines des régions déjà présentes seront divisées en deux nouvelles régions, ce qui ajoute autant de régions qu'il y en a eu de divisées en deux

combien la droite D4 apporte de nouvelles régions ?

salut

Pour épauler un peu Zormuche que je salue , tu peux aussi procéder de façon "expérimentale" .
si on note Rn le nombre de regions obtenues avec n droites alors  
Ro= 1
R1= Ro +1
R2= R1 +2
R3 = R2 + 3
R4 = R3 + 4
....et R_n+1 = ..à toi ...

Bonjour à tous,
Je ne fais que passer.
@Samsco,
Combien de fois faudra-t-il te répéter comment on rédige une récurrence ?
Pas de "pour tout" comme ici :

Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Oui, elle apporte 3 régions, parce qu'elle coupe deux fois les autres droites du plan
Chaque fois qu'elle coupe une droite, elle ajoute une région de plus

Ok j'ai compris , je reprends.

_ Soit la proposition
P_n : " n droites du plan déterminent n(n+1)/2 + 1 régions" .

_ pour n=1 , 1 droite du plan détermine 1(1+1)/2+1=2 régions => P₀ est vrai

_ Supposons que P_k est vraie pour un certain entier naturel k et démontrons que P_k+1 est vraie .

k+1 droites du plan ajoutent au plus nk+1 régions aux k(k+1)/2+1 régions initiales .

k+1 droites du plan déterminent :
k(k+1)/2+1+k+1=k(k+1)/2+(k+1)+1
=[k(k+1)+2(k+1)]/2+1
=[(k+1)(k+2)]/2+1
=[(k+1)((k+1)+1)]/2+1

donc P_k+1 est vraie.

Conclusion : n droites du plan déterminent au maximum n(n+1)/2+1

Attention, une fois de plus la propriété à vérifier c'est que n droites délimitent au plus 1+(1+2+...+n) régions

Ta formulation de la récurrence n'est bien rigoureuse, il faut dans l'idéal clairement faire apparaître l'hypothèse de récurrence (HR)

P_(n+1) est : tout ensemble de n+1 droites délimite au plus 1+(1+...+(n+1)) droites

Pour le démontrer : tu considères une collection quelconque de n+1 droites et tu te ramènes au cas "connu" de n droites (HR)

Un ensemble de n+1 droites c'est un ensemble de n droites auquel on ajoute une droite

Donc par HR, cet ensemble de n droites délimite déjà au plus 1+(1+...+n) régions

Et l'idée, c'est que cette droite, elle ne va pas ajouter n+1 régions mais au plus n+1 régions
Vois-tu pourquoi ?

L'HR c'est : "n droites délimitent au plus 1+1+...+n régions"

Donc pour démontrer que n+1 droites délimitent toujours au plus 1+1+...+n+(n+1) régions, tu prends un assortiment de n+1 droites et tu en retires une au hasard. Il te reste alors n droites. Mais d'après l'HR, on sait quelque chose sur les n droites restantes
On rajoute ensuite la droite qu'on avait enlevé, en disant qu'elle rajoute une région de plus que le nombre de droites qu'elle va couper (parmi les n)

Et combien de droites peut-elle couper ?

Ben elle peut couper n droites.

Oui, mais pas forcément. Plus précisément, quelles sont toutes les possibilités ?

Elle peut couper 1 ou 2 ou 3 .....ou n.

Oui, donc elle peut couper au plus n droites. Ce qui amène à combien de nouvelles régions ?

Ce qui amène n+1 régions.