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Démonstration par récurrence

Posté par
Samsco 14-12-20 à 06:59

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp .

Exercice :

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul , on a :

\sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{(n-1)(n+1)}

Je me demande s'il n'y a pas d'erreur dans cette expression.

Pour n=2 , 1(1-2)+2(2-3)=0 et (2-1)/(2+1)=1/3
0≠1/3

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:02

\sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}


pour n=2 , 1(1-1)+2(2-2)=0 et 2(2-1)(2+1)/6=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:16

Bonjour,
Pour le premier calcul, ce n'est pas 1(1-1), mais 1(2-1).

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:30

Ah oui .

Voici ce que je propose :

_ Soit la proposition Pp : \forall p \in \mathbb{N^*}~,\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6}

_ pour p=1 , 1(1-1)=0 et 1(1-1)(1+1)/6=0 donc P1 eat vraie

_ Supposons que Pp+1  est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrons que Pp+1 est vraie

\sum^{p+1}_{k=1}k(p-k)=\sum^{p}_{k=1}+(p+1)(p+1-p-1) \\ \\ =\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6}~??

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:43

\sum^{p+1}_{k=1}k(p-k)=\sum^{p}_{k=1}{\blue{k(p-k)}}+(p+1)(p+1-p-1) \\ \\ =\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6}~??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:45

Enlève moi ce "pour tout p" au début de Pp !
Pour n dans *, soit Pn la proposition \sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}.
Je vais regarder la suite.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:49

Citation :
Supposons que Pp+1 est vraie pour tout entier naturel non nul

Une coquille, c'est Pp qui est supposé vraie.
Et une horreur avec cet autre "pour tout" : Si tu supposes avec, inutile d'aller plus loin puisque tu supposes la conclusion.

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:53

Mon professeur m'a déconseillé d'utiliser " n " comme indice de P.

* Modération > Citation inutile effacée. *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:56

Ensuite tu mélanges k, p et n.

En Posant \; S_n = \sum^{n}_{k=1}k(n-k)

On a \; S_p = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) \; et \; S_{p+1} = \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 07:59

Samsco @ 14-12-2020 à 07:30

Ah oui .

Voici ce que je propose :

_ \forall n \in \mathbb{N^*} , soit la proposition Pn : \sum^{}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}

_ pour n=1 , 1(1-1)=0 et 1(1-1)(1+1)/6=0 donc P1 est vraie

_ Supposons que Pn  est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrons que Pn+1 est vraie

\sum^{n+1}_{k=1}k(n-k)=\sum^{n}_{k=1}+(n+1)(n+1-n-1) \\ \\ =\dfrac{n(n-1)(p+1)}{6}~??

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 08:02

Sylvieg @ 14-12-2020 à 07:56

Ensuite tu mélanges k, p et n.

En Posant \; S_n = \sum^{n}_{k=1}k(n-k)

On a \; S_p = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) \; et \; S_{p+1} = \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k){\blue{=S_p+(p+1)(p+1-p-1)=S_p}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 08:11

Ne fais pas de citation si tu modifies quelque chose. Ou alors en enlevant les balises "quote".
Pour rédiger, va voir Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
Le début de l'hérédité ne commence jamais par un "pour tout".

Au niveau du contenu de l'hérédité, utilise ce que j'ai écrit à 7h56 pour écrire correctement ce qu'est Pp.

Prends ton temps. ne réponds pas avant un bon quart d'heure.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 08:15

Ce que tu as écrit à 8h02 pour Sp+1 est faux.
Dans son sigma, le terme \; k(p+1-k) \; n'est pas égal au terme \; k(p-k) \; du sigma de Sp.

Je ne reviens pas avant 8h30.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 16:46

Le quart d'heure me semblant largement écoulé, je donne un petit coup de pouce.

S_p = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) .

S_{p+1} = \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k) . Le dernier terme de cette somme est nul. Mais les autres termes ne sont pas les mêmes que dans Sp.

Tu as essayé d'écrire Sp+1 = Sp + "quelque chose".
Pour trouver ce "quelque chose", transforme la différence \; Sp+1 - Sp \; en commençant par utiliser cette égalité :

\sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k) = \left(\sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)\right) + (p+1)((p+1-(p+1)) = \sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 20:13

S_{p+1}-S_p=\sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k) \\ \\ =[1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+p(p+1-p)]-[1(p-1)+2(p-2)+...+p(p-p) \\ \\ S_{p+1}-S_p=p+(p-1)+(p-2)+...+1 \\

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 20:43

Oui, et tu connais une formule pour \; 1+2+3+4+...+p .

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 14-12-20 à 22:05

S_{p+1}-S_p=\dfrac{p(p+1)}{2} \\ \\ S_{p+1}=\dfrac{p(p+1)}{2}+\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6} \\ \\ =\dfrac{3p(p+1)+p(p-1)(p+1)}{6} \\ \\ =\dfrac{p(p+1)(3+p+1)}{6} \\ \\ S_{p+1}=\dfrac{p(p+1)(p+4)}{6}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 15-12-20 à 08:36

Tu as fait une erreur dans la factorisation de l'avant dernière ligne.
As-tu écrit au brouillon ce que tu essayes d'obtenir pour l'hérédité ?

Posté par
carpediemre : Démonstration par récurrence 15-12-20 à 08:38

salut

Samsco @ 14-12-2020 à 07:53

Mon professeur m'a déconseillé d'utiliser " n " comme indice de P.
bof aucun intérêt ... et fait travailler l'abstraction ...

Samsco @ 14-12-2020 à 22:05

S_{p+1}-S_p=\dfrac{p(p+1)}{2} \\ \\ ... \\ \\ S_{p+1}=\dfrac{p(p+1)(p+4)}{6}
est-ce la même formule qu'au rang n ?


on peut aussi remarquer que :

S_{n + 1} = \sum_0^{n + 1} k(n + 1 - k) = \sum_0^{n + 1} [(k - 1)(n - (k - 1)) + (n - (k - 1)] = ... ce qui permet de faire apparaitre S_n

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 16-12-20 à 22:28

Samsco

Samsco @ 14-12-2020 à 22:05

S_{p+1}=\dfrac{p(p+1)(3+p{\blue{-}}1)}{6} \\ \\ S_{p+1}=\dfrac{p(p+1)(p+2)}{6}


Donc Pp+1 est vraie

Conclusion : \forall n \in \mathbb{N^*}~\sum^{n}_{k=1}n(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 17-12-20 à 08:53

Bonjour,
@Samsco,
Pourquoi faire des citations ?
Mieux vaut écrire quelque chose dans le genre "je reprends la fin du calcul de 22h05".

Tu ne fais pas apparaître laproposition Pp+1 de manière claire.
Pour moi, il manque une ligne avec : Sp+1 = (p+1)((p+1)-1)((p+1)+1)/6

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 09:45

Bon je reprends tout .

* Démonstrons par récurrence que: \forall n \in \mathbb{N^*}~,\sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}

_ \forall n \in \mathbb{N^*} , soit la proposition

P(n): \sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}

_ Pour n=1 , 1(1-1)(1+1)/6=1(1-1)=0 donc P(1) est vraie.

_ Supposons que P(p) est vraie pour un certain entier p et démontrons que P(p+1) est vraie.

\sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=[1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+p(p+1-p)]-[1(p-1)+2(p-2)+...+p(p-p) \\ \\ =p+(p-1)+(p-2)+...+1 \\ \\ \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=\dfrac{p(p+1)}{2} \\ \\ \Rightarrow \sum^{p+1}_{k=1}(p+1-k)=\dfrac{p(p+1)}{2}+\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6} \\ \\ =\dfrac{3p(p+1)+p(p-1)(p+1)}{6} \\ \\ =\dfrac{p(p+1)(3+p-1)}{6} \\ \\ =\dfrac{p(p+1)(p+2)}{6} \\ \\ \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)=\dfrac{(p+1)((p-1)+1)((p+1)+1)}{6} \\

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 09:50

donc Pp+1 est vraie.

Conclusion : \forall n \in \mathbb{N^*}~,\sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}

Sinon  , je n'ai pas compris comment on passe de :
S_{p+1}-S_p=p+(p-1)+(p-2)+..+1
à

S_{p+1}-S_p=1+2+3+...p

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 10:37

Cette ligne ne va pas :

\sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=[1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+p(p+1-p)]-[1(p-1)+2(p-2)+...+p(p-p)

Sylvieg @ 14-12-2020 à 07:56

Ensuite tu mélanges k, p et n.

En Posant \; S_n = \sum^{n}_{k=1}k(n-k)

On a \; S_p = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) \; et \; S_{p+1} = \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)

Et pour ce que tu n'as pas compris, complète les pointillés à gauche du "+1" :

S_{p+1}-S_p=p+(p-1)+(p-2)+..+1 = p+(p-1)+(p-2)+... +3+2+1
Si tu ne comprens toujours pas, écris en entier la somme pour p =7.

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:11

Citation :

Cette ligne ne va pas :

\sum^{{\blue{p+1}}}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=[1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+p(p+1-p)]-[1(p-1)+2(p-2)+...+p(p-p)

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:13

J'ai compris pourquoi p+(p-1)+(p-2)+...1=1+2+...+p

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:28

Bien pour \; p+(p-1)+(p-2)+...1 = 1+2+...+p .
Mais dans la ligne litigieuse, tu as rectifié à gauche sans en tenir compte à droite.
Ça ne change pas grand chose, car le terme oublié est nul. Mais l'as-tu bien vu ?
La somme des \; k((p+1)-k) \; va de \; k = 1 \;à \; k = p+1 :
(p+1-1) + 2(p+1-2) + 3(p+1-3) + ... + p(p+1-p) + (p+1)(p+1-(p+1))

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:33

\sum^{{\blue{p+1}}}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=[1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+{\blue{(p+1)(p+1-(p+1))}}]-[1(p-1)+2(p-2)+...+p(p-p)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:41

Enfin dans la dernière ligne de 9h45 :

\sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)=\dfrac{(p+1)((p-1)+1)((p+1)+1)}{6}
il faut faire apparaître p+1 partout :

\sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)=\dfrac{(p+1)((p+1)-1)((p+1)+1)}{6} \; qui correspond bien à

\sum^{n}_{k=1}k(n-k)=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6} \; quand on y remplace n par p+1.


Par ailleurs, la démonstration de \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k)-\sum^{p}_{k=1}k(p-k)=\dfrac{p(p+1)}{2} peut se faire avant d'aborder la récurrence.
Ça permet d'alléger un peu.

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:51

D'accord.

Sinon

carpediem @ 15-12-2020 à 08:38

on peut aussi remarquer que :

S_{n + 1} = \sum_0^{n + 1} k(n + 1 - k) = \sum_0^{n + 1} [(k - 1)(n - (k - 1)) + (n - (k - 1)] ={\blue{\sum^{n+1}_0(k-1)(n-(k-1))+\sum^{n+1}_0(n-(k-1))}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 11:56

Et, pour la rendre plus claire, commence par utiliser que le dernier terme de \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k) est nul.

D'où \sum^{p+1}_{k=1}k(p+1-k) = \sum^{p}_{k=1}k(p+1-k)

Puis k(p+1-k) = k(p-k) + k . D'où \sum^{p}_{k=1}k(p+1-k) = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) + \sum^{p}_{k=1}k

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 12:00

Message croisés
C'est vrai qu'avec n au lieu de p, c'est plus clair.
Je ne vais plus être disponible.
Je n'ai pas vérifié tes dernières égalités.

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 20-12-20 à 12:09

Sylvieg @ 20-12-2020 à 11:56

D'où \sum^{p}_{k=1}k(p+1-k) = \sum^{p}_{k=1}k(p-k) + \sum^{p}_{k=1}k =\dfrac{p(p-1)(p+1)}{6}+\dfrac{p(p+1)}{2}=...

Posté par
Samscore : Démonstration par récurrence 31-12-20 à 16:16

Merci de votre aide.


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