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Démonstration par récurrence.

Posté par
matheux14 05-01-21 à 14:29

Bonjour ,

Merci d'avance.

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 6 divise n(n+1)(2n+1).

2) Démontrer par récurrence que :

a-) 1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

b-) 1²+2²+...+n²=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

c-) 1³+2³+...+n³=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^{2}

d-) 1^{4}+2^{4}+...+n^{4}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)}{30}

e-) \forall n\in \N* , n! \geq 2^{n-1}

Réponses

1) Soit An=n(n+1)(2n+1)

Posons Pn : << 6 | An >> \forall n\in \N.

* A0= 0 , donc 6| A0 c'est à dire P0 est vraie.

* Soit k\in \Z , supposons que 6 | Ak c'est à dire Pk vraie.

Ak+1=(k+1)(k+2)(2k+3)

Ak+1=(k²+3k+2)(2k+3)

Ak+1=[k(k+1)+2k+2](2k+1+2)

Ak+1=[k(k+1)](2k+1)+2[k(k+1)]+(2k+2)(2k+1)+2(2k+2)

Ak+1=Ak+ (2k+2)(2k+1+2)

Ak+1= Ak +(2k+2)(2k+3)+2[k(k+1)]

Ak+1= Ak +2[(k+1)(2k+3)+[k(k+1)]]

Ak+1=Ak+2[(k+1)[(2k+3)+k]]

Ak+1= Ak +2[(k+1)(3k+3)]

Ak+1= Ak +6[(k+1)(k+1)]

Ak+1= Ak+6(k+1)²

Comme 6| Ak et 6| 6(k+1)² , 6 | Ak+6(k+1)².

Donc 6|Ak+1 c'est à dire Pk+1 vraie.

Donc Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

Conclusion : Pn vraie \forall n \in \N.

2) Je ne vois pas comment faire..

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 14:38

Bonjour,

Je te propose de les faire une par une.

Pour 1+2+...+n = \dfrac{n(n+1)}{2}, c'est très simple :

1+2+...+n+ (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1)

Quand tu mets tout au même dénominateur qu'obtiens-tu ?

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 16:09

J'obtiens \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Mais je ne comprends pas pourquoi 1+2+...+n+ (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\ ?

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:03

Petite question : comment fais-tu ta récurrence  ? Il y a trois phases. Pourrais-tu me dire ce que tu mets à la première puis à la seconde ?

Ces questions sont là pour t'orienter.

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:15

Alors pour démontrer par récurrence qu'une proposition P est vraie ;

Je commence par vérifier si P0 est vraie.

Ensuite , démontrer que pour tout entier k ≥ 0 , Pk vraie implique Pk+n vraie.

Et enfin je conclus que Pn vraie pour tout entier n ≥ 0.

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:17

Bien. Petit détail : il suffit d'admettre P_k pour montrer que P_{k+1} soit vraie et non P_{k+n}.

Peux-tu me dire, dans le cas de la récurrence, ce que tu entends par P_k ou P_n ?

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:42

Pk est une application de Pn tel que k \in \Z et n\in \N.

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:43

Et Pn est la proposition générale..

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 17:47

Cela me convient.

Revenons sur la première égalité à prouver.

Sommes-nous d'accord que tu admets que P_n est vraie ?

Je veux dire :

1 + 2 + .... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Il te reste à montrer que P_{n+1} est vraie. Quelle est la relation à démontrer au rang n+1 ?

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 22:03

Citation :
Sommes-nous d'accord que tu admets que P_n est vraie ?


Je n'ai pas le choix , déjà que l'énoncé l'admet..

Citation :
Il te reste à montrer que P_{n+1} est vraie. Quelle est la relation à démontrer au rang n+1 ?


Je ne vois pas vraiment..

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 22:19

P_n est la proposition suivante, donc vraie :

1 + 2 + .... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Donc P_{n+1}, qui reste à prouver, est :

1 + 2 + ... + n + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Or, c'est exactement ce que je t'ai demandé de calculer en utilisant P_n qui est supposée vraie.

1 + 2 + ... + n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Et là, miracle : P_{n+1} est vérifiée parce P_n est vraie.

Dans une récurrence, tu utilises le prédicat P_n pour prouver P_{n+1}

Est-ce plus clair ?

Donc, dans les 3 récurrences qui te restent à te démontrer, il te faudra à chaque fois réduire au même dénominateur, factoriser par (n+1) pour trouver la relation P_{n+1}. C'est assez facile

Sur ce, bonne nuit !

Posté par
azerti75re : Démonstration par récurrence. 05-01-21 à 23:44

Bonsoir,

Je me permets une remarque :

matheux14 @ 05-01-2021 à 16:09



Mais je ne comprends pas pourquoi 1+2+...+n+ (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\ ?


ça fait plusieurs fois que tu postes sur le forum des exercices sur la récurrence  et tu poses encore des questions pareilles ?
ça prouve que tu n'as toujours pas compris le principe de récurrence.

Tant que tu ne l'auras pas compris, tu auras du mal à faire les exercices.

L'important c'est de bien comprendre le raisonnement, et ne pas faire qu'appliquer ce qu'on t'a dit sans comprendre.

Le raisonnement sous-jacent dans tes messages est le suivant : "On m'a dit de faire comme ça, donc je fais comme ça ."
Mais pourquoi on t'a dit de faire comme ça  ? "Ben , je ne sais pas trop mais ils devaient avoir de bonnes raisons. Sinon, ils ne l'auraient pas dit."

Bref, ça ne va pas.

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 06-01-21 à 08:23

Bonjour,

merci azerti75 pour ton intervention, car je me posais la même question.

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 06-01-21 à 08:45

matheux14,

Je tente de t'expliquer le principe d'un récurrence. J'espère être assez clair.

Je cherche à prouver une égalité P pour tout entier naturel n.

A la première phase, je montre que la relation P est vérifié pour le premier terme de la série, généralement pour n=0. On appelle P_0 la relation pour n=0, on dit aussi P au rang 0.

En deuxième phase, je pose pour hypothèse que la relation P est vraie au rang n, on dit que P_n est vérifiée/vraie.

Le travail consiste alors à montrer qu'en reprenant P_n alors P_{n+1} est vérifiée ou vraie.

Pourquoi ? Parce que cela signifie que puisqu'elle est vraie au rang 0, elle est alors vraie au rang 1. Puisqu'elle est vraie au rang 1, alors elle est vraie au rang 2, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Ce qui signifie que la relation est vérifiée quel que soit n.

Dans l'exercice en question, on te demande de vérifier que :

\sum_{i=i}^n i =\dfrac{n(n+1)}{2}

Première phase
Le premier rang est 1, puisque le rang 0 n'a pas de signification, vérifiions l'égalité :

\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=1

La relation est vraie au rang 1.

Pour la seconde phase, je pose pour hypothèse que P_n est vraie, c'est-à-dire que j'admets que :

P_n : \sum_{i=i}^n i =\dfrac{n(n+1)}{2}

Je dois montrer P_{n+1}

P_{n+1} : \sum_{i=i}^{n+1} i =\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Donc :

1 + 2 + ... + n + (n+1) \\ \\ =\sum_{i=i}^n i + (n + 1) \\

Puisque j'ai admis que P_n est vraie , alors je déduis  la ligne suivante :

\\ = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\

Cela me donne et tu l'as calculé plus haut :

=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Donc \sum_{i=i}^{n+1} i =\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}, la relation P_{n+1} est vérifiée.

Troisième phase

Je conclus alors que pour tout entier naturel n,

\sum_{i=i}^n i =\dfrac{n(n+1)}{2}

J'espère que cela t'éclaircit car je ne vois ce que je pourrais faire de plus ou de mieux.

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 07-01-21 à 14:32

azerti75 pourquoi est ce que je ne devrais pas le faire ?

Si quelque chose ne va pas je n'ai pas le droit de demander des explications ?

Citation :
"On m'a dit de faire comme ça, donc je fais comme ça ."


Pourtant je ne l'ai jamais dit..

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 07-01-21 à 14:34

lyceen merci je crois que j'ai compris..

Je vais essayer de faire les questions suivantes.

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 07-01-21 à 14:47

Pas de soucis. Je suis là si besoin.

Au fait pour la question 2b, n'oublie pas que 2n^2+7n+6=(2n+3)(n+2)

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence. 07-01-21 à 16:05

Bonjour à tous,
matheux14, t'ai-je déjà indiqué cette fiche ?
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
Si tu la travailles bien,le raisonnement par récurrence n'aura plus de secrets pour toi

Posté par
lyceenre : Démonstration par récurrence. 07-01-21 à 16:07

Merci Malou,

J'aurais sans doute été plus inspiré de guider matheux14 vers cette fiche que de rédiger un gros pavé.


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