Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Démonstration par récurrence et divisibilité par Z
Posté par Ch0riZ
Bonjour, je suis en terminale spé Maths option Maths Expert,
Et j'ai besoin d'aide pour réaliser mon dm pour jeudi prochain.
On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant: "Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers?"
Pour tout entier naturel p>=2 on pose Np = 1...1 où 1 apparait p fois. On a alors : Np = 10^(p-1)+10^(p-2)+...+10^0
1) les nombres N2=11 N3=111 et N4=1111 sont ils premiers?
2) Prouver que Np = (10^p -1)/9. Peut on être certain que 10^p -1 est divisible par 9?
3) Dans cette question, on se propose de démontrer que si p n'est pas premier, alors Np n'est pas premier.
a) Vérifier que (x^n)-1 = (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) pour tout x€R et tout x€N*
b) On suppose que p est pair et on pose p=2q, où q est un entier naturel supérieur à 1. Montrer que Np est divisible par N2.
c) On suppose que p est un multiple de 3. Montrer que Np est divisible par N3.
d) Plus généralement, on suppose p non premier. Montrer que Np n'est pas premier.
4) Enoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier. Cette condition est-elle suffisante ?
Pour le 1) j'ai trouvé la réponse. Pour le 2) j'ai réalisé une démonstration par récurrence et j'ai trouvé la réponse. Pour le 3)a) je pense avoir trouvé la réponse, j'ai calculé la somme des termes de la suite géométrique (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1), j'ai trouvé (x^n)-1/(x-1) et j'ai alors dit que (x^n)-1 = (x-1)(x^(n-1)+x^(n- 2)+...+x+1) donc je pense que j'ai trouvé la réponse.
Et je suis bloqué à partir de la 3)b) car je pense qu'il faut faire une démonstration par récurrence mais je n'y arrive pas. 
Aidez-moi s'il-vous-plaît 
Je vous en suis très reconnaissant et je vous remercie d'avance pour le temps passé.
Bonjour,
Que penses-tu de 11 + 11
100 + 111002 par rapport à
N6
?
PS Essaye de passer plus souvent à la ligne dans tes réponses 
Bonjour, merci pour votre réponse à tous les 2,
Je n'ai pas très bien compris ce que vous m'avez dit, mais d'après ce que j'ai saisi, il faut que je remplace x par 11 et que je calcule même si je ne vois pas comment ?
Et je ne vois pas non plus par rapport à la réponse de Silvieg (11 + 11x100 + 11x100^2 \; par rapport à \; N6) car pourquoi calculer N6 on ne me le demande pas.
Pourriez-vous si possible réexpliquer de façon à ce que je comprenne ?
Merci encore pour votre temps
Bonjour, je suis en train de chercher,
Et j'ai trouvé cela pour la 3)a) :
3)a) Soit pour tout x€N* et pour tout x€R,
x^(n-1)+x^(n-2)+....+x+1 = x^(n-1)+x^(n-2)+....+x^1+x^0
La Somme des termes d'une suite géométrique de raison x, est égale à : S= 1er terme x (1-raison^nbdetermes) / (1-raison)
= 1 x (1-x^n) / (1-x) = -((x^n)-1) / (-(x-1))
donc S est égale à (x^n)-1 / (x-1)
Ainsi, x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+....+x^1+x^0)
et je ne vois pas ce qu'il faut faire ensuite pour la 3)b) ; la 3)c) ; la 3)d) et la 4)
Même si je suis actuellement en train d'essayer de comprendre vos réponses.
Merci
Np = (10p -1) /9 et tu veux montrer en 3 b) quesi p = 2q tu as un multiple de N2 = (102-1)/9 , les 9 ne servent à rien dans le quotient Np / N2
Or 102q-1 = (102-1)(...) grâce à ta formule pour x = 100 et n = q ...., le principe est le même pour la suivante
Bonjour,
Je réponds sur mon indication avec N6 :
Il n'est pas demandé ; mais quand on ne voit pas ce qui se passe dans le cas général, observer un cas particulier peut aider.
As-tu essayé d'écrire les deux nombres que j'ai proposés ?
PS Fais "Aperçu" avant de poster pour corriger les coquilles comme \;
qui se sont glissées dans ton message.
En fait, la piste de bernardo314 correspond mieux à l'esprit du problème ( utiliser 3)a) ).
Plutôt que de dire que les 9 ne servent à rien dans le quotient Np/N2, je dirais qu'ils se simplifient 
Et, sans écrire de quotient :
10p-1 = 102q - 1 = (102)q - 1
Daprès 3)a), xq-1 = (x-1)(xq-1+xq-2+...+x+1).
D'où 10p-1 = ...
Bonjour,
J'ai eu le temps de regarder vos réponses mais j'ai besoin d'une confirmation pour être bien sûr,
Pour la 3)b), la réponse est :
On sait que Np = (10p -1) /9 et si p = 2q , N2 = ((10^2)-1)/9 , les 9 se simplifient dans le quotient Np / N2.
Et, sans écrire de quotient :
10p-1 = (10^2q) - 1 = (10^2)^q - 1
D'après la 3)a), (x^q)-1 = (x-1)((x^q)-1+(x^q)-2+...+x+1).
D'où (10^p)-1 = (10-1)((10^2q)-1+(10^2q)-2+...+10+1)
= 9((10^2q)-1+(10^2q)-2+11)
(je suis bloqué à cette étape, pouvez-vous m'expliquer la suite du calcul et du raisonnement pour aboutir à ce qui est attendue)
Merci et désolé pour le dérangement, 
Pouvez-vous si possible aussi m'expliquer ce qu'il faut faire pour la 3)c) et la 4) ? 
0u encore m'envoyer les réponses pour que j'essaye de comprendre, avant jeudi 
Je ne comprends pas ceci : (10^p)-1 = (10-1)((10^2q)-1+(10^2q)-2+...+10+1)
N'oublie pas que N2 = 11 .
Tu veux démontrer que (10p -1) /9
est un multiple de 11.
Ce qui revient à montrer que 10p -1
est un multiple de 99.
Remplace x
par
102
dans
xq-1 = (x-1)(xq-1+xq-2+...+x+1).
Et tu obtiendras une expression de 10p - 1
qui se factorise par 99.