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Niveau quatrième
démonstration sans aucun théorème de 4è
Posté par chouchou21
Bonjour,
Je suis très embêtée...
Je dois répondre à ces questions sans utiliser AUCUN des théorèmes des milieux ou Pythagore.
Quelqu'un pourrait-il m'aider, je ne vois pas du tout comment faire ?
soit un triangle RST, E milieu de [SR] et O milieu de [ST]. Une droite (d) passe par E et est parallèle à (ST), (d) coupe [RT] au point U.
1- Que peut-on conjecturer du point U et du côté [RT] ?
2- Justifier que les droites (EO) et (RT) sont parallèles et que RT=2xEO
Slt chouchou21 
Peux-tu utiliser le théorème de Thalès et les propriétés des figures semblables ?
Si oui, tu peux passer par là. Sinon, à vrai dire, je ne vois pas de trop... Et j'espère qu'une âme charitable pourra nous prêter ses idées. 
Désolé, je n'aurais pas du mettre mon dernier message... En effet, ton dossier apparaît maintenant en bleu, ce qui pourrait être considéré comme résolu.
Je t'invite donc à mettre un simple petit mot après ce message ci comme ça ton dossier apparaîtra en orange et tu auras plus de chance d'être 'entendue'.
N'hésite pas non plus à poster un petit 'up' de temps en temps quand tu vois que ton poste disparaît dans les bas fonds... 
Ainsi, il remontera!
Je resterai en tout cas attentif, je suis moi-même très intéressé par cette démonstration...
Bien à toi
Bonsoir: Du point U je mène une parallèle à SR qui coupe ST au point O' donc dans quadrilatère EUO'S ona : EU parallèle à SO' et UO' parallèle à SE donc EUO'S est un parallélélogramme car c'est un quadrilatère qui a ses 4 cotés parallèles deux à deux .Je vais montrer que les deux triangles REU et UO'T sont égaux (on dit aussi isométriques): Puisque EUO'S est un parallélélogramme alors les cotés opposés sont égaux donc UO'=ES, E est milieu de RS donc ES=ER d'où UO'=ER c'est à dire un coté du triangle REU est égal à un coté du triangle UO'T. L'angle URE est égal à l'angle TUO' comme angles correspondant formés par les parallèles UO' et RS coupés par la sécante RT , de mème l'angle REU est égal à l'angle EUO' comme angles alternes internes formés par les parallèles UO' et RS coupés par la sécante EU et on a aussi l'angle EUO'=l'angle UO'T comme angles alternes internes formés par les parallèles EU et ST coupés par la sécante UO' donc l'angle REU=l'angle UO'T ce qui montre l'égalité des deux triangles REU et UO'T on en déduit l'égalité des éléments homologues donc RU=UT et U est milieu du coté RT ce qui montre la première question et de plus de l'égalité de ces deux triangles on déduit que
TO'=UE et comme UE=O'S (car EUO'S parallélélogramme) alors TO'=O'S d'où O' est milieu de ST or par hypothèse O est milieu de ST donc O=O'.
Slt chouchou21 et benkelfat,
Chouchou21, aurais-tu l'amabilité de poster la réponse que ton professeur attend (je suppose qu'il donnera une correction...). Ton problème me laisse perplexe et je voudrais vraiment connaître le fin mot de l'histoire.
D'avance merci.