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Démonstration somme de matrices magiques

Posté par
Thathano
04-03-19 à 17:38

Bonjour à tous !

Dans le cadre d'un devoir maison de spé maths, on étudie les matrices magiques.
On me demande tout d'abord de prouver que pour toute matrice magique M la matrice tM avec t un réel est une matrice magique. J'ai expliqué que la somme est donc multiplié par t puisque l'on peut factoriser tout les termes par t. Je ne sais pas si il est possible d'effectuer un calcul pour prouver ceci autrement.

Deuxièmement, on me demande si pour deux matrices carrées M et N et deux réels t et s la matrice tM+sN est elle nécessairement magique. J'ai essayé de chercher des contre exemples mais je n'en ai pas trouvé... Je ne sais pas comment démontrer ceci.

Merci d'avance !

Posté par
sandro
re : Démonstration somme de matrices magiques 04-03-19 à 18:12

Bonjour,
pour la première question, essaye de définir le fait que M est magique à l'aide d'un ensemble d'égalités à vérifier sur les coefficients de la matrice (n'hésite pas à introduire le nombre magique en inconnue supplémentaire).
Ensuite tu réécris les calculs pour la matrice tM, et tu simplifie à l'aide des équations de la matrice M (à noter que rien n'oblige que le nombre magique reste le même).


De manière générale, si tu ne trouve pas de contre exemple pour prouver que quelque cose est faux, alors essaye de prouver que c'est vrai : soit tu y arrive (alors c'est vrai), soit tu aboutis à une absurdité qui souvent te donne un contre exemple).
Pour la deuxième partie, tu procède de même en écrivant les équations pour M et pour N, puis en les exploitant pour prouver celles de tM+sN ou prouver une absurdité (qui te donne alors un contre exemple général)

NB : tu peux te simplifier un peu la vie en remarquant que tM et sN sont elles mêmes magiques d'après 1) : du coup, il te suffit de montrer que la somme de 2 matrices magiques est magique ou de trouver un contre exemple montrant qu'elle n'est pas toujours magique



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