Niveau école ingénieur

Démonstration suite adjacente

Posté par
IamMe 30-09-20 à 11:29

Bonjour je bloque pour un exercice :

Montrer que les suites de termes généraux un et vn définis par u0>0,v0>0, $\large u_{n+1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$
, $\large v_{n+1} = \frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+ v_{n}}$
, nsont adjacentes.
Trouver leur limite en étudiant wn=unvn.

J'ai voulu commencer par étudier la monotonie de ces suites :
un+1 - un = (un+vn)/2 - un = (vn-un)/2 = -un+1. Je ne sais pas si je peux conclure...

vn+1 - vn = (2unvn)/(un+vn) - vn = ((2unvn)-vn(un+vn))/(un+vn) = (vn(un-vn))/(un+vn)

Posté par re : Démonstration suite adjacente 30-09-20 à 14:09

Bonjour,

Un conseil : commence par comparer $u_n$ et $v_n$ pour $n\geq 1$ .

Posté par re : Démonstration suite adjacente 30-09-20 à 15:49

Pourquoi ?

Posté par re : Démonstration suite adjacente 30-09-20 à 15:52

C'est bien pour savoir si la limite de un-vn vaut 0 mais pour la monotonie je vois pas...

Posté par re : Démonstration suite adjacente 30-09-20 à 16:12

1°) Peux-tu rappeler la définition de "suites adjacentes" ?
2°) N'as-tu pas remarqué que tu obtiens $u_{n+1} - u_n = (v_n-u_n)/2$ ?
Pour la monotonie, ça peut donc être utile de connaître le signe de $v_n-u_n$ , non ?
3°) D'où sors tu ton "(vn-un)/2 = -un+1" ???

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