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Démonstration supplémentarité de deux espaces vectoriels
Bonsoir, je bloque sur un exercice de maths, merci pour vos conseils !
Soient E et F 2 espaces vectoriels de R et f et g des applications linéraires telles que
f : E -> F f ◦g◦f=f
g : F -> E g◦f◦g=g
1) Démontrer que Im(g) et Ker(f) sont supplémentaires dans E
2) Si E est de dimension finie, comparer les rangs de f et de g
(Je commence tout juste ce chapitre, je n'ai que très peu de notions)
Pour la 1), ça me parait logique mais je n'arrive pas à le formaliser, j'ai commencé par dire que Im(g) et Ker(f) sont supplémentaire ssi : Im(g) + Ker(f) = E et Im(g) inter Ker(f) = ensemble vide
Mais je n'arrive pas à aller plus loin...
Pour la 2) les rangs de f et g sont égaux puisqu'ils sont supplémentaires dans E ?
Merci pour votre aide !
1.Pour montrer que E = Ker(f) + Im(g) :
Soit x 
E .
On a f(x) = fgf(x) donc f(x - gf(x)) = 0 .
y := x - gf(x) appartient donc à Ker(f) et comme z := gf(x) Im(g) on a x = y + z Ker(f) + Im(g) .
2.Reste à montrer que Ker(f) 
Im(g) = {0} pour que Ker(f) et Im(g) sont supplémentaires .
Donc soit x Ker(f) Im(g) .
Montre que nécessairement on a x = 0 (en évitant les "ça me parait logique " ).
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