Tu parles bien des matrices de transvections élémentaires, de la forme avec et ( est la matrice qui a des 0 partout, sauf un 1 à l'intersection de la -ème ligne et -ème colonne).
Multiplier à gauche par revient à faire l'opération élémentaire sur les lignes suivantes : ajouter à la -ème ligne fois la -ème ligne.
Une succession de ces opérations élémentaires permet de transformer n'importe quelle matrice inversible en matrice diagonale avec que des 1 sur la diagonale, sauf le dernier coeffcient égal à . En particulier ceci montre que si , alors est produit de matrices de transvections élémentaires (remarquer que l'inverse de est ).
Tu trouveras les détails dans tout bon livre, ou par une petite recherche sur le web, tiens par exemple ici .

Est-ce que vous pouvez me montrer comment proceder en utilisant la matrice de transvection de format 2x2 c'est a dire:



et




avec a un réel

J'ai reussi a faire le cas 2x2 mais par contre dans le lien que vous m'avez donné ils disent uniquement que le determinant de ce type de matrices est egal a 1 afin de démontrer  qu'elles engendrent le groupe special linéaire. Est-ce suffisant comme demonstration ?
Je dirais que oui puisque c'est la definition du groupe

Trop facile. Je pars de la matrice , qui est bien dans . Je la multiplie à gauche par , j'obtiens . Je multiplie à gauche par , j'obtiens . Je multiplie à gauche par , j'obtiens la matrice identité. Morale : .
Un peu plus dur. Je pars de la matrice , qui est bien dans . Je la multiplie à gauche par , j'obtiens . Je multiplie à gauche par , j'obtiens . Je multiplie à gauche par , j'obtiens . Je multiplie à gauche par , j'obtiens la matrice identité. Morale : .

En fait je voulais demontrer la propriete par recurrence. J'ai reussi a demontrer le cas 2x2 mais j'ai du mal avec l'heredite (cas n+1)

Je pense avoir compris en relisant. La démonstration présentée en 1 repond aux deux questions en meme temps oui ?

Quelle est la deuxième question ?

1) matrices de transvections engendrent SL_n(K)
2) Matrices de transvections et dilatations engendrent GL_n(K)

Oui, ça démontre les deux choses. Il suffit d'ailleurs de remarquer que, partant d'une matrice inversible A, on obtient une matrice de déterminant 1 en la multipliant par la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous 1 sauf le dernier qui vaut l'inverse de det(A).

D'accord. J'ai compris maintenant. Merci beaucoup pour votre aide. Bonne journée

J'ajoute que la démonstration du texte n'est pas optimale parce qu'elle utilise aussi des multiplications à droite. On peut tout faire avec des multiplications à gauche uniquement.