Bonjour,

Je ne comprends pas la démonstration du théorème de Baire. On veut donc  montrer que dans un espace métrique X complet toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
On prend une suite d'ouverts denses (O_n)n>0, et un ouvert non vide V dans le but de montrer que V rencontre l'intersection des (O_n)
Pour cela on construit une suite décroissante de boules et à chaque étape on utilise un argument de densité que je ne comprends pas :

Je ne comprends pas en quoi la densité permet d'affirmer l'existence de cette boule fermée

Merci beaucoup pour vos éclaircissements !