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Niveau Maths sup
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Démonstration : Théorème de Cantor

Posté par
LePetitPythagore
08-10-15 à 19:57

Bonsoir,

Je dois montrer qu'il n'existe pas de bijection f de E sur P(E).

Mon prof m'a conseillé de commencer par :
But : Montrer que E n'est pas surjective
Hypothèse : "Supposons que E est surjective
Soit A = { x E , x f(x) }

Comment peut-on continuer cette démo ?

Merci

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 20:54

Personne ?

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:01

Bonsoir,
tu écris n'importe quoi.

Citation :
But : Montrer que E n'est pas surjective
Hypothèse : "Supposons que E est surjective

E est un ensemble, f une application de E dans P(E). Ça commence mal : l'objectif est de montrer que f ne peut pas être surjective.

Pour la suite
A = { x E , x f(x) }

que peut-on dire d'un x tel que f(x)=A ?

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:08

verdurin @ 08-10-2015 à 21:01

Bonsoir,
tu écris n'importe quoi.

C'est vrai En fait, je ne pensais pas vraiment à ce que j'écrivais (je suis fatigué).

Bref ...
On peut dire que x E ?

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:16

Oui, par définition.
Mais peut-on dire que xA ?

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:17

Non car x f(x). Puisque f(x) = A, alors x A

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:25

On est d'accord : xA.
Or A = { x E , x f(x) } donc xA.

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:32



C'est très bizarre.
En fait, x A car x f(x) ? (si j'ai bien compris)

On a alors : x A x A ?

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:34

Oui.
Que peut-on en conclure sur l'existence de x ?

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:35

Remarque : on a aussi x A x A

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:38

Conclusion : x f(x), ce qui est absurde car x f(x) ?
(je pense que je dis n'importe quoi)
Donc, f n'est pas surjective.

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:38

Ah ...

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:41

Donc x A x A ??

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 21:47

J'espère que tu as compris l'idée.

De façon formelle on a démontré

                xE : f(x)=A x

On en déduit que
       xE : f(x)=A est faux
f n'est donc pas surjective.

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 22:00

D'accord.

Une rédaction de la démonstration serait :
But : montrer que f n'est pas surjective
Hypothèse : f est surjective
Soient A = {x E, x f(x) }.
Si f(x) = A alors x A
Or, A = {x E, x f(x) }. Donc, a A.
Ainsi :
x A x A
De plus, x A x A
On a alors : x A x A

Donc, x E, f(x) = A x
On en déduit : x E, f(x) = A (contradiction)

CONCLUSION : f n'est pas surjective.

C'est bon ?

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 22:01

Mais, je ne comprends pas la contradiction.

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 08-10-15 à 22:23

On fait une hypothèse H : xE : f(x)=A
On arrive à la conclusion x.

La conclusion est fausse.

Et la seule possibilité pour que HFaux doit vrai est que H soit faux.

Posté par
LePetitPythagore
re : Démonstration : Théorème de Cantor 10-10-15 à 15:19

Ça marche !

Merci beaucoup !

Posté par
verdurin
re : Démonstration : Théorème de Cantor 10-10-15 à 16:00



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