Bonjour je dois démontrer le théorème suivant dans le cas de la dimension 2:
"Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale"

Je bloque un peu et je tourne en rond..
J'avais commencé par définir une matrice symétrique réelle
A=
Avec a,b et c des réelles par définition
Et j'avais commencé  à calculer le polynôme caractéristique de ma matrice A:
Donc =Det(A-xI2)=Det()
C'est-à-dire qu'on trouve comme polynôme caractéristique:
= (a-x)(c-x) -b²
Là je pensais à développer donc:
=(ac-ax-cx+x²)-b²
=x²-x(a+c)+(ac-b²)
Et là ensuite à calculer le discriminant en espérant trouver un discriminant supérieur à 0:
Donc=(a+c)²-4(ac-b²)
Donc =(a²+2ac+c²)-4ac+4b²
D'où =a²+c²+4b²-2ac
Donc en factorisant on a:
=(a-c)²+4b² (>0 car a,b et c des réels, pour b=0, c'est la matrice identité donc diagonalisable ? donc pas de soucis ici?)
Donc le polynôme caractéristique est un polynôme scindé
=(x-x₁)(x-x₂)
Avec x₁= et x₂=
Et là je voulais ensuite calculer la dimension des sous-espaces propres et montrer qu'elles étaient égale à la multiplicité des racines, mais je n'y arrive pas, ai-je fais fausse route quelques parts ?